Question

（2013?徐匯區(qū)二模）如圖（甲），MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，電阻箱的阻值范圍為0～4Ω，導軌所在空間存在勻強磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應強度為B=0.5T．質量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現從靜止釋放桿a b，測得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關系如圖（乙）所示．已知軌距為L=2m，重力加速度g=l0m/s²，軌道足夠長且電阻不計．

（1）當R=0時，求桿a b勻速下滑過程中產生感生電動勢E的大小及桿中的電流方向；
（2）求金屬桿的質量m和阻值r；
（3）求金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值P_m；
（4）當R=4Ω時，求隨著桿a b下滑回路瞬時電功率每增大1W的過程中合外力對桿做的功W．

Answer 1

分析：（1）由圖讀出R=0時桿ab的最大速度，由E=BLv求解感生電動勢E的大小，由右手定則判斷出桿中的電流方向；
（2）根據 E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推導出安培力的表達式，當桿勻速運動時速度最大，由平衡條件得到最大速度v_m與R的關系式，根據圖象的斜率和縱截距求解金屬桿的質量m和阻值r；
（3）金屬桿勻速下滑時，由平衡條件求得電路中電流，即可求出電阻箱消耗電功率的最大值P_m；
（4）由E=BLv和 P=

E2

R+r

得到瞬時電功率增大量△P，根據動能定理求出合外力對桿做的功W．

解答：解：（1）由圖可知，當R=0時，桿最終以v=2m/s勻速運動，產生電動勢
   E=BLv=0.5×2×2V=2V                     
由右手定則判斷可知桿中電流方向從b→a
（2）設桿運動的最大速度為v，桿切割磁感線產生的感應電動勢 E=BLv
由閉合電路的歐姆定律得：I=

E

R+r

桿達到最大速度時滿足 mgsinθ-BIL=0
聯(lián)立解得：v=

mgsinθ

B2L2

R+

mgsinθ

B2L2

r
由圖象可知：斜率為k=

4-2

2

m/(s?Ω)=1m/(s?Ω)，縱截距為v₀=2m/s，
得到：

mgsinθ

B2L2

r=v₀

mgsinθ

B2L2

=k
解得：m=0.2kg，r=2Ω    
（3）金屬桿勻速下滑時電流恒定，則有  mgsinθ-BIL=0
得 I=

mgsinθ

BL

=1A
電阻箱消耗電功率的最大值Pm=I2Rm=4W
（4）由題意：E=BLv，P=

E2

R+r

得  P=

B2L2v2

R+r

瞬時電功率增大量△P=

B2L2 v 2 2

R+r

-

B2L2 v 2 1

R+r

由動能定理得
 W=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

比較上兩式得 W=

m(R+r)

2B2L2

△P
代入解得 W=0.6J  
答：（1）當R=0時，求桿a b勻速下滑過程中產生感生電動勢E的大小2V，桿中電流方向從b→a．
（2）金屬桿的質量m為0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）金屬桿勻速下滑時電阻箱消耗電功率的最大值P_m是4W．
（4）當R=4Ω時，隨著桿a b下滑回路瞬時電功率每增大1W的過程中合外力對桿做的功W是0.6J．

點評：本題綜合考查了法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等，綜合性強，對學生能力的要求較高，其中安培力的分析和計算是關鍵．