Question

（2013?東莞一模）如圖所示，在真空中，半徑為d的虛線所圍的圓形區(qū)域內(nèi)只存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)右側(cè)有一對(duì)平行金屬板M和N，兩板間距離也為d，板長(zhǎng)為l．板
間存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，兩板間的電壓為U₀．兩板的中心線O₁O₂，與磁場(chǎng)區(qū)域的圓心O在同一直線上．有一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，以速率v₀從圓周上的P點(diǎn)沿垂直于半徑OO_l并指向圓心O的方向進(jìn)入磁場(chǎng)，從圓周上的O₁點(diǎn)飛出磁場(chǎng)后沿兩板的中心線O₁O₂射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，從兩板右端某處飛出．不計(jì)粒子所受重力．求
（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小
（2）粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間
（3）當(dāng)粒子在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)時(shí)間t=

l

2v0

時(shí)，突然改變兩金屬板帶電性質(zhì)，使電場(chǎng)反向，且兩板間電壓變?yōu)閁₁，則粒子恰好能從O₂點(diǎn)飛出電場(chǎng)，求電壓U₁和U₀的比值．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，由幾何知識(shí)得到軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的大��；
（2）粒子運(yùn)動(dòng)

1

4

周期時(shí)間，求得周期，即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，而水平方向位移大小為l，由t=

l

v0

求出時(shí)間，即可求出總時(shí)間；
（3）當(dāng)粒子在電場(chǎng)中經(jīng)過(guò)時(shí)間t=

l

2v0

時(shí)，使電場(chǎng)反向，要使粒子恰好能從O₂點(diǎn)飛出電場(chǎng)，在前t=

l

2v0

時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再在后t=

l

2v0

時(shí)間內(nèi)，做等時(shí)間的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，兩段過(guò)程豎直方向的位移大小相等、方向相反，即總位移為零，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)位移關(guān)系和位移公式求得電壓U₁和U₀的比值．

解答：解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，由牛頓第二定律
      qv₀B=m

v 2 0

r

 由幾何關(guān)系知  r=d        
所以  B=

mv0

qd

        
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期T=

2πm

qB

，
在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為四分之一個(gè)周期，t1=

1

4

T=

1

4

?

2πm

qB

=

πl(wèi)

2v0

．
粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，平行板的方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)
則t₂=

l

v0

在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間t_總=t₁+t₂=

πl(wèi)+2l

2v0

（3）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知：粒子在豎直方向先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，再做等時(shí)間的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，
第一階段：a=

qU0

md

，s=

1

2

at2
第二階段：a1=

qU1

md

，s₁=vt-

1

2

a1t2=at²-

1

2

a1t2
豎直方向總位移為零，s+s₁=0
所以解得  a₁=3a              
故U₁：U₀=3：1
答：（1）磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是

mv0

qd

．
（2）粒子在磁場(chǎng)和電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是

πl(wèi)+2l

2v0

．
（3）電壓U₁和U₀的比值是3：1．

點(diǎn)評(píng)：本題粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑是關(guān)鍵，在電場(chǎng)中分析兩段位移的關(guān)系是關(guān)鍵．