Question

如圖所示，相隔一定距離的豎直邊界兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場區(qū)，磁場方向垂直紙面向里，在邊界上固定兩長為L的平行金屬極板MN和PQ，兩極板中心各有一小孔S₁、S₂，兩極板間電壓的變化規(guī)律如圖乙所示，正反向電壓的大小均為U₀，周期為T₀．在t=0時(shí)刻將一個(gè)質(zhì)量為m電量為-q（q＞0）的粒子由S₁靜止釋放，粒子在電場力的作用下向右運(yùn)動(dòng)，在t=

T0

2

時(shí)刻通過S₂垂直于邊界進(jìn)入右側(cè)磁場區(qū)．（不計(jì)粒子重力，不考慮極板外的電場）
（1）求粒子到達(dá)S₂時(shí)的速度大小v和極板間距d；
（2）為使粒子不與極板相撞，求磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足的條件．
（3）若已保證了粒子未與極板相撞，為使粒子在t=3T₀時(shí)刻再次到達(dá)S₂，且速度恰好為零，求該過程中粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小．

Answer 1

（1）粒子在勻強(qiáng)電場中電場力做功等于粒子動(dòng)能的增加，得：
qU0=

1

2

mv2
代入數(shù)據(jù)，得：v=

2qU m

又：d=

1

2

v(

T0

2

)，
聯(lián)立以上兩式，得：d=

T0

4

2qU0 m

（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，即：qvB=

mv2

r

，
得：r=

mv

qB

使粒子不與極板相撞，則運(yùn)動(dòng)的半徑r≥

L

4

聯(lián)立以上兩式，得：B≤

4

L

2mU0 q

（3）粒子在t=3T₀時(shí)刻再次到達(dá)S₂，且速度恰好為零，則從s₁再次進(jìn)入電場時(shí)的時(shí)刻是

5T0

2

；粒子在左右磁場中的時(shí)間是相等的，故從右向左穿過電場的中間時(shí)刻是

3T0

2

，通過與圖乙比較，可以知道從右向左穿過電場時(shí)，前半段做減速運(yùn)動(dòng)，后半段做加速運(yùn)動(dòng)，前后對(duì)稱．設(shè)粒子減速運(yùn)動(dòng)時(shí)間t時(shí)，位移恰好是

d

2

，粒子受到的電場力：F=qE
電場強(qiáng)度：E=

U

d

，
加速度：a=-

F

m

，
粒子做減速運(yùn)動(dòng)，

d

2

=vt+

1

2

at2
聯(lián)立以上幾個(gè)公式，解得：t=

T0

2

(

2- 2

2

)
粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t′=

5T0

2

-

T0

2

-2×t=

2+ 2

2

T0
粒子在左右磁場中的時(shí)間是相等的且都是半個(gè)周期，所以粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是一個(gè)周期，即t′=T；粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，得：
qvB=

m4π2r

T2

，vT=2πr
得：B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．
答：（1）粒子到達(dá)S₂時(shí)的速度

2qU m

和極板間距d=

T0

4

2qU0 m

；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小應(yīng)滿足的條件B≤

4

L

2mU0 q

；
（3）粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t′=

2+ 2

2

T0，磁感應(yīng)強(qiáng)度的B=

4πm

(2+ 2 )qT0

．