Question

（2012?湖南模擬）為了使粒子經(jīng)過一系列的運(yùn)動后，又以原來的速率沿相反方向回到原位，可設(shè)計(jì)如下的一個電磁場區(qū)域（如圖所示）：水平線QC以下是水平向左的勻強(qiáng)電場，區(qū)域Ⅰ（梯形PQCD）內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；區(qū)域Ⅱ（三角形APD）內(nèi)的磁場方向與Ⅰ內(nèi)相同，但是大小可以不同，區(qū)域Ⅲ（虛線PD之上、三角形APD以外）的磁場與Ⅱ內(nèi)大小相等、方向相反．已知等邊三角形AQC的邊長為2l，P、D分別為AQ、AC的中點(diǎn)．帶正電的粒子從Q點(diǎn)正下方、距離Q點(diǎn)為l的O點(diǎn)以某一速度射出，在電場力作用下從QC邊中點(diǎn)N以速度v₀垂直QC射入?yún)^(qū)域Ⅰ，再從P點(diǎn)垂直AQ射入?yún)^(qū)域Ⅲ，又經(jīng)歷一系列運(yùn)動后返回O點(diǎn)．（粒子重力忽略不計(jì)）求：
（1）該粒子的比荷；
（2）粒子從O點(diǎn)出發(fā)再回到O點(diǎn)的整個運(yùn)動過程所需時間．

Answer 1

分析：粒子從O到N與從N到O是逆過程，N到O做類平拋運(yùn)動．從N到P，做勻速圓周運(yùn)動，半徑等于l，由牛頓定律求出比荷．畫出粒子在磁場中運(yùn)動軌跡，找出半徑與三角形邊長的關(guān)系，定出時間與周期的關(guān)系，求出時間．

解答：解：
（1）根據(jù)牛頓第二定律和洛侖茲力表達(dá)式有
     qv₀B=m

v 2 0

R

              
   根據(jù)題意R=l，解得 

q

m

=

v0

Bl

                      
（2）粒子在電磁場中運(yùn)動的總時間包括三段：電場中往返的時間t₀、區(qū)域Ⅰ中的時間t₁、區(qū)域Ⅱ和Ⅲ中的時間t₂+t₃．
   根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律有
      t₀=

2l

v0

                        
   設(shè)在區(qū)域Ⅰ中的時間為t₁，則
     t₁=2?

2πl(wèi)

6v0

=

2πl(wèi)

3v0

                  
   若粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)的運(yùn)動如圖甲所示，則總路程為（2n+

5

6

）個圓周，根據(jù)幾何關(guān)系有
      AE=（4nr+r）=l                解得      r=

l

4n+1

    其中n=0，1，2…
   區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)總路程為  s=（2n+

5

6

）×2πr   　
    t₂+t₃=

s

v0

=

(2π+ 5 6 )2πl(wèi)

(4n+1)v0

   總時間t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl(wèi)

3v0

(

20n+7

4n+1

)

  若粒子在區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)運(yùn)動如圖乙所示，則總路程為（2n+1+

1

6

）個圓周，根據(jù)幾何關(guān)系有：
    （4nr+3r）=l
    解得      r=

l

4n+3

    其中n=0，1，2…
   區(qū)域Ⅱ和Ⅲ內(nèi)總路程為  s=（2n+1+

1

6

）×2πr=

2πl(wèi)(2n+ 7 6 )

4n+3

  總時間t=t₀+t₁+t₂+t₃=

2l

v0

+

πl(wèi)

3v0

(

20n+13

4n+3

)
答：（1）該粒子的比荷為

v0

Bl

；
   （2）粒子從O點(diǎn)出發(fā)再回到O點(diǎn)的整個運(yùn)動過程所需時間為=

2l

v0

+

πl(wèi)

3v0

(

20n+7

4n+1

)或

2l

v0

+

πl(wèi)

3v0

(

20n+13

4n+3

)．

點(diǎn)評：本題屬于帶電粒子在組合場中運(yùn)動問題，綜合性較強(qiáng)．磁場中圓周運(yùn)動要畫軌跡分析運(yùn)動過程，探索規(guī)律，尋找半徑與三角形邊的關(guān)系是關(guān)鍵．