Question

14．輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2R，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為2m的物體靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，其長(zhǎng)度為R．現(xiàn)將彈簧一端固定在傾角為30°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)，直軌道與一半徑為$\sqrt{3}$R的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，BC=5R，A、B、C、D位于同一豎直平面內(nèi)．質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，將彈簧壓縮至最短時(shí)到達(dá)E點(diǎn)（圖中未畫出），此時(shí)彈簧長(zhǎng)度為R，重力加速度大小為g．
（1）求物塊P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）求物塊P被彈簧彈回時(shí)到達(dá)的最高點(diǎn)離C點(diǎn)的距離d．
（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放．已知P能夠到達(dá)圓弧軌道，且在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)始終不脫離軌道，試確定P的質(zhì)量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)物塊從C到E的過程分析，由能量守恒定律列式，可求得物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)；
（2）物塊P被彈簧彈回過程，再由能量守恒定律求最高點(diǎn)離C點(diǎn)的距離d；
（3）要使在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)始終不脫離軌道，分兩類情況，一種是不超過與軌道圓心等高的高度，一種能到達(dá)最高點(diǎn)，然后根據(jù)臨界條件和能量守恒定律解答．

解答 解：（1）將彈簧豎直放置在地面上，物塊放在彈簧上，彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈性勢(shì)能為 E_p=2mgR
將質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，將彈簧壓縮至最短時(shí)到達(dá)E點(diǎn)時(shí)，根據(jù)能量守恒定律得
   E_p+μmgcos30°•6R=mgsin30°•6R
聯(lián)立解得 μ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$
（2）物塊P被彈簧彈回過程，由能量守恒定律得
   E_p=μmgcos30°•L+mgsin30°•L
又 d=6R-L
解得 d=3R
（3）設(shè)P的質(zhì)量為km．分兩種情況：
①物塊P能到達(dá)圓軌道的最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)有
   m$\frac{{v}_{0}^{2}}{\sqrt{3}R}$≥mg
根據(jù)能量守恒定律得 
   E_p=μkmgcos30°•6R+kmgsin30°•6R+kmg•$\sqrt{3}$R（1+cos30°）+$\frac{1}{2}km{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得 k≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$
②物塊不超過與軌道圓心等高的高度．
據(jù)能量守恒定律得 
   E_p-μkmgcos30°•6R-kmgsin30°•6R≤kmg•$\sqrt{3}$Rcos30°
聯(lián)立解得 k≥$\frac{4}{11}$
綜上，P的質(zhì)量的取值范圍為m_P ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或m_P ≥$\frac{4}{11}$m
答：
（1）物塊P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ是$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
（2）物塊P被彈簧彈回時(shí)到達(dá)的最高點(diǎn)離C點(diǎn)的距離d是3R．
（3）P的質(zhì)量的取值范圍為m_P ≤$\frac{4}{11+3\sqrt{3}}$m或m_P ≥$\frac{4}{11}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律及豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，解題的關(guān)鍵在于明確能P到達(dá)軌道最高點(diǎn)的臨界條件：重力等于向心力，理解物塊P在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)且不脫離圓弧軌道的含義，要注意不能漏解．