Question

（16分）如圖所示，水平放置長(zhǎng)為L的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖所示的方波電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓值為U₀/2，且每隔T/2換向一次，現(xiàn)有質(zhì)量為m、帶正電且電量為q的粒子束從A、B的中點(diǎn)O沿平行于金屬板方向源源不斷的射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時(shí)間均為T。不計(jì)重力的影響，則：

（1）在靶MN上距其中心點(diǎn)有粒子擊中的范圍是多少?

（2）要使粒子能全部打在靶MN上，電壓U₀的數(shù)值應(yīng)滿(mǎn)足的條件是什么?

（3）粒子能全部打在靶MN上，所有粒子中最大的動(dòng)能是多少?

Answer 1

解：由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，帶電粒子在水平方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下做變速運(yùn)動(dòng)。粒子打在靶MN上的范圍，實(shí)際上就是粒子在豎直方向所能到達(dá)的范圍。

（1）當(dāng)粒子在0，T，2T，……nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O^/點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，在前T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：

       

在后T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向下的位移為：  

將v=，代入上式得： 

故粒子打在距O^/點(diǎn)正下方的最大位移為： 

當(dāng)粒子在T/2，3T/2，……（2n+1）T/2時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O^/點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)，在前T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：   

在后T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直向上的位移為：  

其中，，，代入上式得：s₂^/=0，

故粒子打在距O^/點(diǎn)正上方的最大位移為：。

（2）要使粒子能全部打在靶上，須有：，即。

（3）因?yàn)榱Ｗ釉谄叫杏跇O板方向做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，所以平行于極板的速度：

                

設(shè)垂直于極板的速度度為v_y，則據(jù)動(dòng)量定理有：

      。

所以打在靶上粒子的速度為