Question

8．如圖，P為處于水平面內(nèi)的轉(zhuǎn)盤，可繞豎直轉(zhuǎn)軸OO'轉(zhuǎn)動，長度為l的纜繩一端懸掛在轉(zhuǎn)盤邊緣，另一端栓接一質(zhì)量為m的小球，轉(zhuǎn)盤靜止時纜繩頂端與轉(zhuǎn)軸間的距離為d，現(xiàn)讓轉(zhuǎn)盤由靜止逐漸加速轉(zhuǎn)動，經(jīng)過一段時間后小球與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動，且纜繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直面內(nèi)．此時纜繩與豎直方向的夾角為θ，不計空氣阻力及纜繩重力，重力加速度為g，下列判斷正確的是（　�。�

• A． 小球與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動時，小球受到纜繩的拉力大小為mgcosθ
• B． 小球從靜止到做勻速圓周運(yùn)動的過程中，纜繩對小球做的功為$\frac{1}{2}$mgdtanθ
• C． 小球從靜止到做勻速圓周運(yùn)動的過程中，纜繩對小球做的功為$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1+cosθ）
• D． 如果圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的角速度不變，換一個質(zhì)量更大的小球隨其轉(zhuǎn)動，穩(wěn)定時纜繩與豎直方向的夾角θ不變

Answer 1

分析 質(zhì)點與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動時，由重力和繩子拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求小球受到纜繩的拉力和小球的速度，再根據(jù)動能定理研究質(zhì)點從靜止到做勻速圓周運(yùn)動的過程中，得到繩子對小球做的功．由角速度的表達(dá)式分析纜繩與豎直方向的夾角θ與小球質(zhì)量的關(guān)系．

解答 解：A、小球與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動時，由重力和繩子的拉力的合力提供質(zhì)點圓周運(yùn)動的向心力，如圖，則小球受到纜繩的拉力大小為 T=$\frac{mg}{cosθ}$，故A錯誤．
BC、設(shè)小球做勻速圓周運(yùn)動時速度大小為v，則有
   mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$
對于小球從靜止到做勻速圓周運(yùn)動的過程中，重力做功為-mgl（1-cosθ），設(shè)繩子拉力做功為W，則根據(jù)動能定理得：
  W-mgl（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
聯(lián)立①②得：W=$\frac{1}{2}$mg（d+lsinθ）tanθ+mgl（1-cosθ）．故B、C錯誤．
D、由v=ω（d+lsinθ）及mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{d+lsinθ}$得ω=$\sqrt{\frac{gtanθ}{（d+lsinθ）}}$，可知，ω與小球的質(zhì)量無關(guān)，所以如果圓盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的角速度不變，換一個質(zhì)量更大的小球隨其轉(zhuǎn)動，穩(wěn)定時纜繩與豎直方向的夾角θ不變，故D正確．
故選：D

點評 本題中小球從靜止到做勻速圓周運(yùn)動的過程中，繩子拉力是變力，要首先考慮運(yùn)用動能定理求解變力的功．要知道小球與轉(zhuǎn)盤一起做勻速圓周運(yùn)動時，由重力和繩子的拉力的合力提供質(zhì)點圓周運(yùn)動的向心力．