Question

（2011?鹽城一模）如圖所示，在y軸右側(cè)平面內(nèi)存在方向向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.5T，坐標(biāo)原點(diǎn)o有一放射源，可以向y軸右側(cè)平面沿各個(gè)方向放射比荷為

m

q

=2.5×10-7Kg/C的正離子，這些離子速率分別在從0到最大值υm=2×106m/s的范圍內(nèi)，不計(jì)離子之間的相互作用．
（1）求離子打到y(tǒng)軸上的范圍
（2）若在某時(shí)刻沿+x方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過(guò)

5π

3

×10-7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程
（3）若從某時(shí)刻開(kāi)始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過(guò)

5π

3

×10-7時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出最大的半徑，由幾何知識(shí)分析得到，離子打到y(tǒng)軸上離O點(diǎn)最遠(yuǎn)距離等于直徑．
（2）求出離子運(yùn)動(dòng)的周期，根據(jù)時(shí)間與周期的關(guān)系，確定出這些離子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角，運(yùn)用參數(shù)方程求解這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）根據(jù)幾何知識(shí)作出離子可能到達(dá)的位置，求出面積．

解答：解：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為R
由牛頓第二定律得：Bqυ=m

υ2

R

解得：R=

mυ

Bq

=1m
由幾何關(guān)系知，離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0到2m．
（2）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)，
則T=

2πR

υ

=

2πm

Bq

=π×10-6s
t時(shí)刻時(shí)，這些離子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ
則 θ=

2πt

T

=

π

3

這些離子構(gòu)成的曲線如圖1所示，并令某一離子在此時(shí)刻的坐標(biāo)為（x，y）
則  x=rsinθ，
    y=r（1-cosθ）
代入數(shù)據(jù)并化簡(jiǎn)得：y=

3

3

x（0≤x≤

3

2

）
（3）將第（2）問(wèn)中圖2中的OA段從沿y軸方向順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，在x軸上找一點(diǎn)C，以R為半徑作圓弧，相交于B，則兩圓弧及y軸所圍成的面積即為在t=0向y軸右側(cè)各個(gè)方向不斷放射各種速度的離子在t=

5π

3

×10-7時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子所在區(qū)域．
由幾何關(guān)系可求得此面積為：S=

5

12

πR2+

1

6

πR2-

1

2

R×

3

2

R=

7

12

πR2-

3

4

R2．
則：S=(

7

12

π-

3

4

)m2
答：
（1）離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0到2m．
（2）若在某時(shí)刻沿+x方向放射各種速率的離子，經(jīng)過(guò)

5π

3

×10-7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程是y=

3

3

x（0≤x≤

3

2

）．
（3）若從某時(shí)刻開(kāi)始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射各種速率的離子，經(jīng)過(guò)

5π

3

×10-7時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積是(

7

12

π-

3

4

)m2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決物理問(wèn)題的能力，采用參數(shù)方程的方法求解軌跡方程，根據(jù)幾何知識(shí)確定出離子可能出現(xiàn)的區(qū)域，難度較大．