Question

5．如圖所示，在坐標(biāo)系xOy內(nèi)有一半徑為d的圓形區(qū)域，圓心坐標(biāo)為O₁（0，a），圓內(nèi)分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在M、N之間的矩形區(qū)域（即x=2a，x=3a和y=0，y=2a所圍成的區(qū)域）內(nèi)有一沿+x方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m、電荷量為-q（q＞0）的粒子以速度v₀從O點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)沿+y軸方向射入，粒子恰好從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，A、O₁兩點(diǎn)的連線與x軸平行．（不計(jì)粒子重力）
（1）求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）為使粒子不從電場(chǎng)的右側(cè)射出，則在M、N上加的電壓至少應(yīng)該多大？
（3）在（2）中若B和E保持不變，試證明：在xOy平面內(nèi)，不論粒子以速率v從O點(diǎn)沿什么方向射入磁場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間是一個(gè)定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，根據(jù)洛倫茲力提供向心力即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出MN間所加的電壓；
（3）畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)求出粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的時(shí)間，再求總時(shí)間；

解答  解：（1）由于粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為a，由圓周運(yùn)動(dòng)向心力知：$qvB=m\frac{{v}_{0}^{2}}{a}$
得出：$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qa}$
（2）根據(jù)動(dòng)能定理知：$-qU=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得出：$U=\frac{m{v}_{0}^{2}}{2q}$
（3）證明：設(shè)帶電粒子在進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度方向與x軸成θ角．由于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡圓的半徑與磁場(chǎng)區(qū)域的半徑相同，因此$O{O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}E$四點(diǎn)連線形成一個(gè)菱形，${O}_{2}^{\;}E$的連線與y軸平行，故帶電粒子在出磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)速度方向與x軸平行．
帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{θm}{Bq}$
帶電粒子在進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)與電場(chǎng)的方向平行，因此在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為
${t}_{2}^{\;}=2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
粒子從電場(chǎng)返回之后，再次在出磁場(chǎng)的位置進(jìn)入磁場(chǎng)，方向沿x軸負(fù)向．同理可知，${O}_{1}^{\;}{O}_{2}^{\;}EF$為菱形．帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為${t}_{3}^{\;}=\frac{αm}{Bq}$
根據(jù)幾何關(guān)系可知θ+α=π
所以帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
代入得$t=\frac{πm}{Bq}+2\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Eq}$
與帶電粒子射入磁場(chǎng)的方向無(wú)關(guān)，是一個(gè)定值．
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$；
（2）為使粒子不從電場(chǎng)的右側(cè)射出，則在M、N上加的電壓至少為$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{2q}$
（3）證明見上

點(diǎn)評(píng) 解決此類問題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，在圖象中作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系抓住粒子做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛倫茲力提供向心力展開討論即可，本題很好的體現(xiàn)了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力．