Question

如圖所示，矩形區(qū)域I和II內分別存在方向垂直于紙面向外和向里的勻強磁場（AA′、BB′、CC′、DD′為磁場邊界，四者相互平行），磁感應強度大小均為B，矩形區(qū)域的長度足夠長，兩磁場寬度及BB′與CC′之間的距離均相同．某種帶正電的粒子從AA′上O₁處以大小不同的速度沿與O₁A成α=30°角進入磁場（如圖所示，不計粒子所受重力），當粒子的速度小于某一值時，粒子在區(qū)域I內的運動時間均為t₀．當速度為v₀時，粒子在區(qū)域I內的運動時間為

t0

5

．求：
（1）粒子的比荷

q

m

；
（2）磁場區(qū)域I和II的寬度d；
（3）速度為v₀的粒子從O_l到DD′所用的時間．

Answer 1

分析：（1）當粒子的速度小時，粒子做圓周運動的半徑小，此時粒子全部在區(qū)域I中運動，由粒子的運動的時間和幾何關系可以求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)粒子在區(qū)域I內的運動時間為

t0

5

，分析可以知道粒子穿出BB′時速度方向與BB′垂直，由圓周運動的半徑和幾何關系可以求得磁場的寬度d；
（3）根據(jù)粒子運動的對稱性可以求得在區(qū)域I和II的時間是相同的，在中間的無磁場的區(qū)域是勻速直線運動，把三個區(qū)域的時間加起來即可．

解答：解：（1）若速度小于某一值時粒子不能從BB′離開區(qū)域I，只能從AA′邊離開區(qū)域I．則無論粒子速度大小，在區(qū)域I中運動的時間相同．軌跡如圖所示（圖中只畫了一個粒子的軌跡）．則粒子在區(qū)域I內做圓周運動的圓心角為φ=300°，
由 Bqv=m

v2

R

   T=

2πR

v

          
得：粒子做圓周運動的周期T=

2πm

qB

．
由t₀=

5

6

T=

5πm

3qB

        
解得：

q

m

=

5π

3t0B

．
所以粒子的比荷為

q

m

=

5π

3t0B

．
（2）速度為v₀時粒子在區(qū)域I內運動時間為

t0

5

，設軌跡所對圓心角為φ₂．
由t₀=

T

2π

φ₁     

t0

5

=

T

2π

φ2     
得：φ₂=

1

5

φ1=60°．
所以其圓心在BB′上，穿出BB′時速度方向與BB′垂直，其軌跡如圖所示，
設軌道半徑為R，由qv₀B=m

v02

R

      
得：R=

mv0

qB

=

3t0

5π

v₀        d=Rsin60°=

3 3 v0t0

10π

．
磁場區(qū)域I和II的寬度d為

3 3 v0t0

10π

．
（3）區(qū)域I、II寬度相同，則粒子在區(qū)域I、II中運動時間均為

t0

5

，
穿過中間無磁場區(qū)域的時間為t′=

d

v0

=

3 3 t0

10π

，
則粒子從O₁到DD′所用的時間t=

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．
所以速度為v₀的粒子從O_l到DD′所用的時間為

2t0

5

+

3 3 t0

10π

．

點評：帶電粒子在勻強磁場中的運動是整個高中的重點，也是高考的必考的內容，粒子的運動過程的分析是解題的關鍵．