Question

16．如圖所示，傳送帶Ⅰ與水平面夾角30°，傳送帶Ⅱ與水平面夾角37°，兩傳送帶與一小段光滑的水平面BC平滑連接．兩傳送帶均順順時針勻速率運行．現將裝有貨物的箱子輕放至傳送帶Ⅰ的A點，運送到水平面上后，工作人員將箱子內的物體取下，箱子速度不變繼續(xù)運動到傳送帶Ⅱ上，傳送帶Ⅱ的D點與高處平臺相切．已知箱子的質量M=1kg，物體的質量m=3kg，傳送帶Ⅰ的速度v₁=8m/s，AB長L₁=15m，與箱子間的動摩擦因數為μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．傳送帶Ⅱ速度v₂=4m/s，CD長L₂=8m，由于水平面BC上不小心撒上水，致使箱子與傳送帶Ⅱ間的動摩擦因數變?yōu)棣?SUB>2=0.5，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）裝著物體的箱子在傳送帶Ⅰ上運動的時間；
（2）計算說明，箱子能否運送到高處平臺上？并求在傳送帶Ⅱ上箱子向上運動的過程中產生的內能（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）．

Answer 1

分析 （1）裝著物體的箱子在傳送帶Ⅰ上先做勻加速運動，由牛頓第二定律和運動學公式位移公式結合求得勻加速至速度與傳送帶共速通過的位移，再分析知道共速后箱子隨傳送帶勻速運動，分段求出時間，從而得到總時間．
（2）由牛頓第二定律和運動學公式求出箱子在傳送帶Ⅱ上勻加速的位移，根據共速時最大靜摩擦力與重力沿斜面向下的分力大小關系，判斷之后箱子的運動情況．根據相對位移求熱量．

解答 解：（1）在傳送帶Ⅰ上，根據牛頓第二定律：f-mgsin30°=ma
垂直傳送帶方向，合力為零，故：N-mgcos30°=0
滑動摩擦力為：f=μ₁N
整理可以得到：a=2.5m/s²
根據運動學公式：v₁²=2as
整理可以得到：s=12.8m＜15m
則知箱子與傳送帶共速后做勻速運動
根據速度公式：v₁=at₁
則：t₁=3.2s
與傳送帶一起勻速運動：L-s=v₁t₂
則：t₂=0.275s
故總時間為 t=t₁+t₂=3.475s
（2）在傳送帶Ⅱ上箱子先向上做勻減速運動，根據牛頓第二定律：
  f₁+mgsin37°=ma₁；
摩擦力為：f₁=μ₂mgcos37°
整理可以得到：a₁=10m/s²．
根據運動學公式：${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2a₁s_物1；
則：s_物1=2.4m
當達到傳送帶速度時，由于mgsin37°＞μ₂mgcos37°，所以箱子繼續(xù)減速運動
則根據牛頓第二定律：mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂；
整理可以得到：a₂=2m/s²
根據運動學公式：0-v₂²=-2a₂s_物2
所以：s_物2=4m
由于s_物1+s_物2=6.4m＜8m，所以物體不能運送到高處平臺上
第一段減速時間：t_減1=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{-{a}_{1}}$=$\frac{4-8}{-10}$=0.4s
此過程中傳送帶的位移大小 s_減1=v₂t_減1=4×0.4=1.6m
兩者相對位移△s₁=s_物1-s_減1=2.4-1.6=0.8m
產生的熱量為：Q₁=μ₂mgcos37°△s₁
解得 Q₁=3.2J
第二階段：t_減2=$\frac{0-{v}_{2}}{-{a}_{2}}$=$\frac{4}{2}$=2s
此過程中傳送帶的位移大小 s_減2=v₂t_減2=4×2=8m
兩者相對位移△s₂=s_減2-s_物2=8-4=4m
產生的熱量為：Q₂=μ₂mgcos37°△s₂
解得 Q₂=16J
故總的熱量為：Q=Q₁+Q₂=19.2J．
答：（1）裝著物體的箱子在傳送帶Ⅰ上運動的時間是3.475s；
（2）箱子不能運送到高處平臺上，在傳送帶Ⅱ上箱子向上運動的過程中產生的內能是19.2J．

點評 解答本題的關鍵是弄清楚物塊的受力情況和運動情況；對于牛頓第二定律的綜合應用問題，關鍵是弄清楚物體的運動過程和受力情況，利用牛頓第二定律或運動學的計算公式求解加速度，再根據題目要求進行解答；知道加速度是聯(lián)系靜力學和運動學的橋梁．