Question

3．如圖所示，兩足夠長的平行金屬導(dǎo)軌ab、cd，間距L=lm，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角θ=37°，在a、c之間用導(dǎo)線連接一阻值R=3Ω的電阻，放在金屬導(dǎo)軌ab、cd上的金屬桿質(zhì)量m=0.5kg，電阻r=1Ω，與導(dǎo)軌間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，金屬桿的中點系一絕緣輕繩，輕繩的另一端通過光滑的定滑輪懸掛一質(zhì)量M=1kg的重物，空間中加有磁感應(yīng)強度B=2T且與導(dǎo)軌所在平面垂直的勻強磁場，金屬桿運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，導(dǎo)軌電阻不計．M正下方的地面上安裝有加速度傳感器，可用來測量M運動的加速度，現(xiàn)將M由靜止釋放，重物即將落地時，加速度傳感器的示數(shù)為2m/s²，全過程通過電阻R的電荷量為0.5C，（重力加速度g取10m/s²、sin37°=0.6，cos37°=0.8），求：
（1）重物即將落地時金屬桿兩端的電壓；
（2）此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）若將R更換為一個電容為C=1F的電容器，擇放重物后加速度傳感器的讀數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律得金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，根據(jù)閉合電路歐姆定律得回路中電流，從而可得金屬桿受到的安培力．再對M、m整體分析由牛頓第二定律聯(lián)立可得金屬桿兩端的電壓；
（2）根據(jù)電流定義得電量為：q=$\overline{I}$t，再由法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律以及對系統(tǒng)由能量守恒定律建立等式可求電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）根據(jù)電流定義和牛頓第二定律結(jié)合可求釋放重物后加速度傳感器的讀數(shù)．

解答 解：（1）設(shè)此時金屬桿的速度為v，由法拉第電磁感應(yīng)定律得金屬桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為：E=BLv
由閉合電路歐姆定律得回路中電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
所以金屬桿受到的安培力為：F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，方向沿斜面向下．
對M、m整體分析，由牛頓第二定律得：Mg-mgsin37°-μmgcos37°-F=（M+m）a₁
聯(lián)立解得桿的速度為：v=2m/s
電源電動勢為：E=4V
根據(jù)歐姆定律得金屬桿兩端的電壓為：U=IR=$\frac{ER}{R+r}$=3V
（2）電量為：q=$\overline{I}$t
根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律有：$\overline{E}$=$\frac{△φ}{△t}$
由閉合電路歐姆定律有：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
設(shè)重物下落的高度為h，則△φ=BLh
聯(lián)立解得重物下落的高度為h=1m
設(shè)該過程中產(chǎn)生的焦耳熱為Q，對系統(tǒng)由能量守恒定律得：Mgh=$\frac{1}{2}$（M+m）v²+μmgcos37°+mgsin37°+Q
解得：Q=2J
所以電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為：Q′=$\frac{R}{R+r}$Q=1.5J
（3）電容器的充電電流為：I_C=$\frac{△q}{△t}$=$\frac{CBL△v}{△t}$=CBLa
對導(dǎo)體棒和重物為整體，由牛頓第二定律得：Mg-mgsinθ-μmgcosθ-F_安=（M+m）a
整理得：a=$\frac{Mg-mgsinθ-μmgcosθ}{C{B}^{2}{L}^{2}+M+m}$
代入數(shù)據(jù)解得：a=$\frac{10}{11}$m/s²≈0.91m/s²．
答：（1）重物即將落地時金屬桿兩端的電壓為3V；
（2）此過程中電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為1.5J；
（3）若將R更換為一個電容為C=1F的電容器，釋放重物后加速度傳感器的讀數(shù)為0.91m/s²．

點評 該題為電磁感應(yīng)與動力學(xué)綜合的問題，解決本題的關(guān)鍵是分析運動過程，正確使用能量守恒定律和牛頓第二定律，題目由一定的難度．