Question

如圖所示，兩塊很大的平行導體板MN、PQ產(chǎn)生豎直向上的勻強電場，兩平行導體板與一半徑為r的單匝線圈連接，在線圈內(nèi)有一方向垂直線圈平面向里，磁感應強度變化率為的勻強磁場B₁。在兩導體板之間還存在有理想邊界的勻強磁場，勻強磁場分為Ⅰ、Ⅱ兩個區(qū)域，其邊界為MN、ST、PQ，磁感應強度大小均為B₂，方向如圖所示，Ⅰ區(qū)域高度為d₁，Ⅱ區(qū)域的高度為d₂。一個質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的小球從MN板上方的O點由靜止開始下落，穿過MN板的小孔進入復合場后，恰能做勻速圓周運動，Ⅱ區(qū)域的高度d₂足夠大，帶電小球在運動中不會與PQ板相碰，重力加速度為g。

(1)求線圈內(nèi)勻強磁場的磁感應強度變化率；

(2)若帶電小球運動后恰能回到O點，求帶電小球釋放時距MN的高度h；

(3)若帶電小球從距MN的高度為3h的O'點由靜止開始下落，為使帶電小球運動后仍能回到O'點，在磁場方向不改變的情況下對兩導體板之間的勻強磁場作適當?shù)恼{(diào)整，請你設計出兩種方案并定量表示出來。

   

Answer 1

解：（1）帶電小球進入復合場后恰能做勻速圓周運動，則電場力與重力平衡，得

                                             (1)

                               (2)

                               (3)

                               (4)

（2）只有小球從進入磁場的位置離開磁場，做豎直上拋運動，才能恰好回到O點，由于兩個磁場區(qū)的磁感應強度大小都相等，所以半徑都為R，由圖可知△O₁O₂O₃是等邊三角形。

                (5)

             (6)

         (7)

解得：            (8)

（3）方案1：改變磁感應強度

                               (9)

                            (10)

                             (11)

                                 (12)

將兩板之間的勻強磁場的磁感應強度增大為原來的倍。 

方案2：改變磁場的寬度：

由可知，將磁場I區(qū)的寬度增大為原來的倍，即= d₁。

磁場II區(qū)的寬度變?yōu)?sub>= d₂d₁                         （13）

方案3：改變磁場邊界：磁場II區(qū)的磁場邊界下移y的距離。

當帶電小球從距MN的高度為3h的O'點由靜止開始下落時，應有

                                  (14)

           (15)

           (16)

                (17)

                         畫出粒子的運動軌跡，如右圖所示，在中間勻速直線運動過程中，粒子的速度方向與豎直方向成30°角，根據(jù)幾何關系，可得

                                  (18)

                                          ₍₁₉₎

方案4：同時改變磁感應強度和磁場邊界（上圖中30⁰角改為角）

設磁感應強度增大k倍。   則磁場II區(qū)域的上邊界下移y的距離

                                    (20)

式中：                       (21)

評分標準：本題18分

第(1)問6分：（1）（4）式2分，(2)（3）式1分

第(2)問6分：（5）（8）式2分，(6)（7）式1分

第(3)問6分：只要能定量分析出兩種不同的方案（方案不限于參考答案的四種）則6分全給，第一種方案給2分，第二種方案4分。