Question

如圖（甲）所示，兩光滑導(dǎo)軌都由水平、傾斜兩部分圓滑對(duì)接而成，相互平行放置，兩導(dǎo)軌相距L＝lm ，傾斜導(dǎo)軌與水平面成θ＝30°角，傾斜導(dǎo)軌的下面部分處在一垂直斜面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)I中，I區(qū)中磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（乙）所示，圖中t₁、t₂未知。水平導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)，其左端接有理想的靈敏電流計(jì)G和定值電阻R＝3Ω，水平導(dǎo)軌處在一豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)Ⅱ中，Ⅱ區(qū)中的磁場(chǎng)恒定不變，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂＝1T ，在t＝0時(shí)刻，從斜軌上磁場(chǎng)I 區(qū)外某處垂直于導(dǎo)軌水平釋放一金屬棒ab，棒的質(zhì)量m＝0.1kg ，電阻r＝2Ω，棒下滑時(shí)與導(dǎo)軌保持良好接觸，棒由斜軌滑向水平軌時(shí)無機(jī)械能損失，導(dǎo)軌的電阻不計(jì)。若棒在斜面上向下滑動(dòng)的整個(gè)過程中，靈敏電流計(jì)G的示數(shù)大小保持不變，t₂時(shí)刻進(jìn)入水平軌道，立刻對(duì)棒施一平行于框架平面沿水平方向且與桿垂直的外力。（g取10m/s²）求：

（1）磁場(chǎng)區(qū)I在沿斜軌方向上的寬度d；

（2）棒從開始運(yùn)動(dòng)到剛好進(jìn)入水平軌道這段時(shí)間內(nèi)ab棒上產(chǎn)生的熱量；

（3）若棒在t₂時(shí)刻進(jìn)入水平導(dǎo)軌后，電流計(jì)G的電流大小I隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖（丙）所示（I₀未知），已知t₂到t₃的時(shí)間為0.5s，t₃到t₄的時(shí)間為1s，請(qǐng)?jiān)趫D（�。┲凶鞒�t₂到t₄時(shí)間內(nèi)外力大小F隨時(shí)間t變化的函數(shù)圖像。

Answer 1

（1）電流表的示數(shù)不變，說明在整個(gè)下滑過程中回路的的電動(dòng)勢(shì)是不變的，說明在B變化時(shí)和不變時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小一樣，所以可以判斷在t₁時(shí)刻棒剛好進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域且做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

mgsin-BIL=0，　 ， 　E₁=BLV,　 代入數(shù)值得v=2.5m/s

沒進(jìn)入磁場(chǎng)以前做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度是 a=gsin30⁰=5m/s², v=at, t₁=0.5s ,下滑的距離是s₁=at₂=0.625m，再?zèng)]進(jìn)入磁場(chǎng)以前，由于B均勻變化，所以E₂=，　　　　 又E₁=BLV　 E₁= E₂ ， 41d=112.5，　 d=0.625m

（2）ab棒進(jìn)入磁場(chǎng)以前，棒上產(chǎn)生的熱量為 　Q₁=I²rt₁=0.5²×2×0.5J=0.25J

取ab棒在斜軌磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)為研究過程，　 mgd sin-Q₂=0　　 Q₂=0.3125J.

此時(shí)，棒上產(chǎn)生的熱量是Q_2r==0.125J　　　　　　　　　　 　

則棒上產(chǎn)生的總熱量是Qr= Q₁+Q_2r=0.375 J

或：Q_r=I²R（t₁+t₂）=0.5²×2×(0.5+0.25)J=0.375J

（3）因?yàn)?i>E=BLv，所以剛進(jìn)水平軌道時(shí)時(shí)的電動(dòng)勢(shì)是E=2.5V,　 I₀==0.5A

取t₂時(shí)刻為零時(shí)刻，則根據(jù)圖線可以寫出I-t的方程式：I=0.5-tˊ，I=,

則v=2.5-5 tˊ，所以a₁=5m/s².有牛頓第二定律可得：F+BIL=ma₁， F=tˊ

畫在坐標(biāo)系里。

由丙圖可以同理得出棒運(yùn)動(dòng)的加速度大小是a₂=2.5m/s²,依據(jù)牛頓定律得F-BIL=ma₂

取t₃時(shí)刻為零時(shí)刻，可以寫出t₃時(shí)刻后的I與時(shí)間的關(guān)系式，I=0.5 t ，代入上面的式子可以得到F=0.25+0.5t畫在坐標(biāo)系里。(圖中圖線作為參考)