Question

如圖，兩條平行導軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L．導軌上端接有一平行板電容器，電容為C．導軌處于勻強磁場中，磁感應強度大小為B，方向垂直于導軌平面．在導軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導軌下滑，且在下滑過程中保持與導軌垂直并良好接觸．已知金屬棒與導軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g．忽略所有電阻．讓金屬棒從導軌上端由靜止開始下滑，求：
（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系；
（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系．

Answer 1

分析：（1）由法拉第電磁感應定律，求出感應電動勢；再與C=

Q

U

相結(jié)合求出電荷量與速度的關系式．
（2）由左手定則來確定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于I=

Q

t

、a=

△v

△t

 及牛頓第二定律來求出速度與時間的關系．

解答：解：（1）設金屬棒下滑的速度大小為v，則感應電動勢為E=BLv，
平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E，
設此時電容器極板上積累的電荷量為Q，
按定義有C=

Q

U

，
聯(lián)立可得，Q=CBLv
（2）設金屬棒的速度大小為v時，經(jīng)歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i，
金屬棒受到的磁場力方向沿導軌向上，大小為f₁=BLi
設在時間間隔（t，t+△t ）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為△Q，
按定義有：i=

△Q

△t

△Q也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+△t ）內(nèi)增加的電荷量，
由上式可得，△v為金屬棒的速度變化量，
按定義有：a=

△v

△t

 
金屬棒所受到的摩擦力方向沿導軌斜面向上，
大小為：f₂=μN，式中，N是金屬棒對于導軌的正壓力的大小，
有N=mgcosθ
金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，
設其大小為a，
根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ-f₁-f₂=ma，
聯(lián)立上此式可得：a=

m(sinθ-μcosθ)g

m+B2L2C

由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運動，t時刻金屬棒的速度大小為v=

m(sinθ-μcosθ)gt

m+B2L2C

答：（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關系為Q=CBLv；
（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關系v=

m(sinθ-μcosθ)gt

m+B2L2C

．

點評：本題讓學生理解左手定則、安培力的大小、法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律、及運動學公式，并相互綜合來求解．