Question

15．如圖所示，在空間中有一坐標(biāo)系Oxy，其第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，直線OP是它們的邊界，區(qū)城I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3B，方向垂直紙面向內(nèi)．邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$L，L），一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子恰好經(jīng)過原點(diǎn)O，忽略粒子重力，則
（1）該粒子從O點(diǎn)射出時(shí)與y軸的夾角；
（2）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間；
（3）該粒子運(yùn)動(dòng)的速度可能為$\frac{3qBL}{4mn}$ n=1、2、3…．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，考慮邊界效應(yīng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)與離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，據(jù)此分析答題．
（2）粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{θ}{2π}$T，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)并離開O點(diǎn)的情況是運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的；
（3）粒子的速度大小滿足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過原點(diǎn)O，這樣粒子經(jīng)過n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移S=$\frac{OP}{n}$（n=1，2，3，…），根據(jù)S與兩個(gè)半徑的關(guān)系，然后求出速度．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，磁場(chǎng)邊界是直線邊界，
根據(jù)軌跡圓的對(duì)稱性可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)與離開磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，
粒子從O點(diǎn)豎直向下離開磁場(chǎng)，與y軸負(fù)方向相同，與y軸正方向夾角為180°．
（2）粒子從Ⅰ區(qū)進(jìn)入Ⅱ區(qū)然后離開磁場(chǎng)時(shí)在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，
由幾何知識(shí)得：tanα=$\frac{L}{\sqrt{3}L}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，α=30°，α+β=90°，則：β=60°，
粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期：T₁=$\frac{2πm}{qB}$，T₂=$\frac{2πm}{3qB}$，
粒子在磁場(chǎng)中的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{2β}{2π}$T₁+$\frac{2β}{2π}$T₂=$\frac{8πm}{9qB}$；
（3）由題意可知，O與P間的距離：OP=$\sqrt{（\sqrt{3}L）^{2}+{L}^{2}}$=2L，
粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
由于區(qū)城I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3B，則：r₁=$\frac{mv}{qB}$=3r₂，
粒子的速度大小滿足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，
然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過原點(diǎn)O．這樣粒子經(jīng)過n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn)，
每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為：S=$\frac{OP}{n}$=$\frac{2L}{n}$=2（r₁+r₂）=8r₂，（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁場(chǎng)Ⅱ區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑：r₂=$\frac{L}{4n}$  （n=1、2、3…），
由牛頓第二定律得：qv•3B=m$\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$，解得：v=$\frac{3qBL}{4mn}$  n=1、2、3…；
答：（1）該粒子從O點(diǎn)射出時(shí)與y軸正方向夾角為180°；
（2）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間為$\frac{8πm}{9qB}$；
（3）該粒子運(yùn)動(dòng)的速度可能為$\frac{3qBL}{4mn}$  n=1、2、3…．

點(diǎn)評(píng) 本題在復(fù)合場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)的類型，關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析粒子的規(guī)律，得到粒子在一個(gè)周期內(nèi)位移的通項(xiàng)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．