Question

19．如圖所示，A板和B板為平行板電容器的兩極板，其中A板帶負(fù)電，B板帶正電，兩極板的中央都有一個(gè)小空隙可以允許粒子穿過(guò)，兩板間的電勢(shì)差的大小為U=1×10⁵V，B極板的右上方存在著一個(gè)圓心為O₁的圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.10T，磁場(chǎng)區(qū)域半徑r=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$m，磁場(chǎng)的方向垂直于紙面向里．今有質(zhì)量m=3.2×10^-26kg、帶電荷量q=-1.6×10^-19C的某種粒子，從A極板小孔處極小的初速度（其方向由A到B，大小可以視為零）進(jìn)入兩平行金屬板之間的區(qū)域．圖中A、B板上的兩個(gè)小孔和O₁三點(diǎn)共線．粒子穿越圓柱形磁場(chǎng)后恰好從磁場(chǎng)區(qū)域的最右端C點(diǎn)穿出，立即進(jìn)入一個(gè)豎直方向的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其左右邊界分別為DE和FH，兩邊界間的距離 為8m，上邊和下邊沒(méi)有邊界．勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E=3.75×10⁴N/C，方向在豎直方向上．試求：
（1）該粒子剛剛進(jìn)入圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小；
（2）該粒子通過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)域所用的時(shí)間：
（3）該粒子在有界勻強(qiáng)電場(chǎng)中的位移大小．

Answer 1

分析 該題運(yùn)動(dòng)過(guò)程清晰，先電場(chǎng)加速，進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域偏轉(zhuǎn)，最后進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)．
（1）粒子在AB間加速，根據(jù)動(dòng)能定理求出進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．
（2）由洛侖茲力提供向心力和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期．由幾何關(guān)系從而求出∠BO₁C的度數(shù)，從而求得在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的時(shí)間．
（3）粒子進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)后做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出位移的大�。�

解答 解：（1）在AB板間，據(jù)動(dòng)能定理：
$Uq=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入得：$v=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}=\sqrt{\frac{2×1×1{0}^{5}×1.6×1{0}^{-19}}{3.2×1{0}^{-26}}}m/x$=1×10⁶m/s  
（2）在磁場(chǎng)中，由牛頓第二定律：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
求得半徑：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{3.2×1{0}^{-26}×1×1{0}^{6}}{1.6×1{0}^{-19}×0.1}m=2m$
從而求出：$∠B{O}_{1}C=2arctan\frac{R}{r}=120°$
粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)60°，所以粒子在磁場(chǎng)中的時(shí)間：
$t=\frac{60°}{360°}T=\frac{1}{6}×\frac{2π×2}{1×1{0}^{6}}s=2.1×1{0}^{-6}s$
（3）在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，向下做類平拋運(yùn)動(dòng)，由水平位移求出時(shí)間：
${t}_{1}=\frac{x}{v}=\frac{8}{1×1{0}^{6}}s$=8×10^-6s
豎直位移：$y=\frac{1}{2}×\frac{{E}_{0}q}{m}×{{t}_{1}}^{2}=\frac{3.75×1{0}^{4}×1.6×1{0}^{-19}}{2×3.2×1{0}^{-26}}×（8×1{0}^{-6}）^{2}m=6m$
總位移$s=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}m=10m$ 
答：（1）該粒子剛剛進(jìn)入圓柱形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速度大小為1×10⁶m/s．
（2）該粒子通過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)域所用的時(shí)間為2.1×10^-6s
（3）該粒子在有界勻強(qiáng)電場(chǎng)中的位移大小為10m．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，先求出粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，從C點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的方向是沿背離半徑方向的，所以粒子軌跡的圓心在C點(diǎn)的正下方某處，由直角三角形和三角函數(shù)關(guān)系求出粒子偏轉(zhuǎn)的角度，從而求出在磁場(chǎng)中的時(shí)間．