Question

18．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距L固定在水平絕緣桌面上，其中半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，末端平齊．在與圓心等高的位置處有兩金屬棒MN、PQ垂直兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．已知MN棒的質(zhì)量為2m，電阻為r；PQ棒的質(zhì)量為m，電阻也為r．開始時(shí)，保持PQ棒不動(dòng)，將MN棒從圓弧導(dǎo)軌頂端無初速度釋放，當(dāng)MN棒脫離導(dǎo)軌后，再次由靜止釋放PQ棒，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上．MN、PQ兩棒落地點(diǎn)到導(dǎo)軌邊緣的水平距離之比為1：3．
（1）求MN棒在水平直導(dǎo)軌上滑行的最大加速度a；
（2）求MN棒在導(dǎo)軌上滑行過程中，MN棒產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若MN棒在導(dǎo)軌上滑行的過程中通過導(dǎo)軌某一橫截面的電荷量為q，求PQ棒在水平直導(dǎo)軌上滑行的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）MN棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，MN棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大．根據(jù)MN棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒求解進(jìn)入磁場之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL結(jié)合求出安培力，即可由牛頓第二定律求解最大加速度．
（2）兩棒開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和水平位移之比求解，根據(jù)根據(jù)動(dòng)量定恒和能量定恒求解兩棒在軌道上運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）根據(jù)閉合電路歐姆定律，結(jié)合電量表達(dá)式，及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求解．

解答 解：（1）由題意可知，MN棒剛滑到水平導(dǎo)軌時(shí)，其速度達(dá)到最大．
設(shè)MN棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v₀，MN棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
MN棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，設(shè)此時(shí)回路的感應(yīng)電動(dòng)勢為E，
 E=BLv 
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{2r}$
MN棒受到的安培力為：F_MN=BIL
根據(jù)牛頓第二定律，MN棒有最大加速度為
 a=$\frac{{F}_{MN}}{2m}$
聯(lián)立①～⑥解得：
 a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$
（2）經(jīng)分析可知，當(dāng)MN棒離開導(dǎo)軌后，當(dāng)PQ棒滑上水平導(dǎo)軌后，以v₀做勻速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)MN棒離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小為v₁，兩棒做平拋運(yùn)動(dòng)歷時(shí)均為t₀，則有：
$\frac{{v}_{0}{t}_{0}}{{v}_{1}{t}_{0}}=\frac{3}{1}$，
由于MN棒和PQ棒的電阻相同，可知，MN棒在導(dǎo)軌上滑行的過程中，
由能量守恒定律，則有：2Q=2mgR-$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$
解得：Q=$\frac{8}{9}mgR$；
（3）設(shè)導(dǎo)軌水平部分的長度為x，MN棒在水平導(dǎo)軌上滑行的時(shí)間為△t，則MN棒在水平導(dǎo)軌滑行過程中，回路中的平均感應(yīng)電流為：$\overline{I}$=$\frac{BLx}{△t（r+r）}$
又q=$\overline{I}$•△t
PQ棒在水平導(dǎo)軌滑行的過程中，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有：x=v₀t；
解得：t=$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$
答：（1）MN棒在水平直導(dǎo)軌上滑行的最大加速度$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{4mr}$；
（2）MN棒在導(dǎo)軌上滑行過程中，MN棒產(chǎn)生的焦耳熱$\frac{8}{9}mgR$；
（3）若MN棒在導(dǎo)軌上滑行的過程中通過導(dǎo)軌某一橫截面的電荷量為q，求PQ棒在水平直導(dǎo)軌上滑行的時(shí)間$\frac{qr}{BLgR}\sqrt{2gR}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與電路、磁場、力學(xué)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動(dòng)情況．考查分析和處理綜合題的能力．