Question

8．有一長(zhǎng)度為l=1m的木塊A，放在足夠長(zhǎng)的水平地面上．取一無(wú)蓋長(zhǎng)方形木盒B將A罩住，B的左右內(nèi)壁間的距離為L(zhǎng)=9m．A、B質(zhì)量相同，均為m=1kg，與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ_A=0.2和μ_B=0.3．開(kāi)始時(shí)A與B的左內(nèi)壁接觸，兩者以相同的初速度v₀=28m/s向右運(yùn)動(dòng)．已知A與B的左右內(nèi)壁發(fā)生的碰撞時(shí)間極短（可忽略不計(jì)），且碰撞后A、B互相交換速度．A與B的其它側(cè)面無(wú)接觸．重力加速度g=10m/s²．求：
（1）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間A、B發(fā)生第一次碰撞；
（2）若僅v₀未知，其余條件保持不變，則：
①要使A，B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，初速度v₀應(yīng)滿足何條件？
②要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)至B右壁剛好停止，初速度v₀應(yīng)滿足何條件？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求得加速度，根據(jù)位移時(shí)間關(guān)系即可求得發(fā)生第一次碰撞的時(shí)間；
（2）木塊和木盒相碰過(guò)程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，列出等式求解．
分析木塊、木盒的運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）木塊和木盒分別做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小分別為：
a_A=μ_Ag=2 m/s²；
a_B=μ_Bg=3 m/s²
設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間T發(fā)生第一次碰撞，則有：
L-l=x_A-x_B=$（{v}_{0}T-\frac{1}{2}{a}_{A}{T}^{2}）-（{v}_{0}T-\frac{1}{2}{a}_{B}{T}^{2}）$
代入數(shù)據(jù)得：T=4 s
（2）方法一：由（1）可見(jiàn)木塊、木盒經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁=2T在左端相遇接觸時(shí)速度恰好相同，同理可得：木塊、木盒經(jīng)過(guò)同樣時(shí)間t₂=2T，每次相遇時(shí)速度均減小△v=20 m/s，
①要使A、B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，v₀=20n（m/s） （n=1，2，3，…）
②要使B先停下，初速度必須滿足v₀=n△v+v （n=1，2，3，…，0＜v＜μ_BgT=12 m/s）
經(jīng)過(guò)k次碰撞后，A運(yùn)動(dòng)到B的左壁，且有共同速度v，接著AB一起減速運(yùn)動(dòng)，直到停止，A恰好運(yùn)動(dòng)到B的右壁停止，L-l=x_A-x_B=$\frac{v2}{2μAg}$-$\frac{v2}{2μBg}$，解得v=4$\sqrt{6}$ m/s
所以要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)到B的右壁剛好停止，初速度v₀=（20n+4$\sqrt{6}$）m/s（n=1，2，3，…）
方法二：A、B的v-t圖象如圖所示：

①要使A、B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，
v₀=n△v=20n（m/s）（n=1，2，3，…）
②要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)到B的右壁剛好停止，
v₀=n△v+v
且$\frac{v2}{2aA}$-$\frac{v2}{2aB}$=L-l
v=4$\sqrt{6}$ m/s
故v₀=（20n+4$\sqrt{6}$）m/s（n=1，2，3…）
答：（1）開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后經(jīng)過(guò)4s長(zhǎng)時(shí)間A、B發(fā)生第一次碰撞
（2）若僅v₀未知，其余條件保持不變，則：
①要使A，B最后同時(shí)停止，而且A與B輕輕接觸，初速度v₀應(yīng)滿足v₀=20n（m/s）（n=1，2，3，…）
②要使B先停下，且最后全部停下時(shí)A運(yùn)動(dòng)至B右壁剛好停止，初速度v₀應(yīng)滿足v₀=（20n+4$\sqrt{6}$）m/s（n=1，2，3…）

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要清楚木塊、木盒的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，能夠把相碰過(guò)程動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒結(jié)合運(yùn)用