Question

渦流制動(dòng)是磁懸浮列車在高速運(yùn)行時(shí)進(jìn)行制動(dòng)的一種方式，某研究所用制成的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的渦流制動(dòng)過程．如圖所示，模型車的車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)，電磁鐵系統(tǒng)能在其下方的水平軌道（間距為L₁）中的長為L₁、寬為L₂的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場，該磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向下．將長大于L₁、寬為L₂的單匝矩形線圈等間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為L₂．每個(gè)線圈的電阻為R，導(dǎo)線粗細(xì)忽略不計(jì)．在某次實(shí)驗(yàn)中，啟動(dòng)電磁系統(tǒng)開始制動(dòng)后，電磁鐵系統(tǒng)剛好完整滑過了n個(gè)線圈．已知模型車的總質(zhì)量為m，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）在電磁鐵系統(tǒng)的磁場全部進(jìn)入任意一個(gè)線圈的過程中，通過線圈的電荷量q；
（2）在剎車過程中，線圈所產(chǎn)生的總電熱Q；
（3）電磁鐵系統(tǒng)剛進(jìn)入第k（k＜n）個(gè)線圈時(shí)，線圈中的電功率P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律求出平均電流的大小，根據(jù)q=It求出通過的電量．
（2）根據(jù)牛頓第二定律、安培力公式、切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢公式和閉合電路歐姆定律，采用微分的方法求出初速度的大小，再根據(jù)能量守恒定律求出線圈所產(chǎn)生的總電熱．
（3）根據(jù)微分法求出的速度變化量，得出電磁鐵系統(tǒng)剛進(jìn)入第k（k＜n）個(gè)線圈時(shí)速度的變化量，從而求出此時(shí)的速度大小，從而根據(jù)P=

(BL1vk-1)2

R

求出線圈中的電功率

解答：解：（1）在電磁系統(tǒng)滑進(jìn)線框上方△t的過程中，線框中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電動(dòng)勢

.

E

=

Bl1l2

△t

平均電流

.

I

=

. E

R

線框的電荷量q=

.

I

△t=

BL1L2

R

．
（2）電磁系統(tǒng)在線框上方任一時(shí)刻以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，均有一個(gè)L1邊在磁場中切割磁感線運(yùn)動(dòng)，電磁鐵會(huì)受到線框作用的阻力，大小等于線框所受的安培力．
F=BIL₁，I=

BLv1

R

，F(xiàn)=

B2L2v1

R

磁鐵系統(tǒng)減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的瞬時(shí)加速度a=

B2L12v

mR

．
經(jīng)過極短的時(shí)間△t，速度減小△v，運(yùn)動(dòng)的位移△x
a△t=

B2L12v

mR

△t，
即△v=

B2L12△x

mR

△v=

B2L12

mR

△x
即有v0=

B2L12

mR

2nL2，其中v₀為開始剎車時(shí)的初速度
由能量守恒定律知，線框中產(chǎn)生的總熱量Q=

1

2

mv02
代入得，Q=

2B4L14n2L22

mR2

．
（3）電磁鐵剛穿出第（k-1）個(gè)磁場區(qū)域時(shí)，速度為v_k-1，
v0-vk-1=

B2L12

mR

?2(k-1)L2
得vk-1=

B2L12

mR

?2(n-k+1)L2
線圈的電功率P=

(BL1vk-1)2

R

則P=

B6L16

m2R3

?4(n-k+1)2L22．
答：（1）在電磁鐵系統(tǒng)的磁場全部進(jìn)入任意一個(gè)線圈的過程中，通過線圈的電荷量為

BL1L2

R

．
（2）在剎車過程中，線圈所產(chǎn)生的總電熱為

2B4L14n2L22

mR2

．
（3）線圈中的電功率

B6L16

m2R3

?4(n-k+1)2L22．

點(diǎn)評：本題物理情境很新，但仍是常規(guī)物理模型，類似于磁場不動(dòng)線圈在動(dòng)的題型．（2）（3）問對學(xué)生的能力要求較高，需采用微分的思想進(jìn)行解決．