Question

5．如圖所示，讓擺球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動，到達(dá)A孔進(jìn)入半徑R=0.3m的豎直放置的光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=0.5kg，D點(diǎn)與小孔A的水平距離s=2m，g取10m/s²．（sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos60°=$\frac{1}{2}$）試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

分析 （1）對CD段運(yùn)用動能定理，求出小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律，通過拉力和重力的合力提供向心力求出繩子的拉力．
（2）首先找出進(jìn)入圓弧的臨界條件，再據(jù)動能定理求摩擦因數(shù)μ的范圍．?dāng)[球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道有兩種情況：一種能做完整的圓周運(yùn)動．另一種在下半個圓周上運(yùn)動．

解答 解：（1）小球從C到D的過程，由動能定理得：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_D²-0，
解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s，
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F_m-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$，
解得：F_m=10N；
（2）①小球進(jìn)入圓軌道后，設(shè)小球能到達(dá)圓軌道最高點(diǎn)的速度為v，
則要不脫離軌道滿足：mg≤m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
考慮小球從D點(diǎn)運(yùn)動到圓軌道最高點(diǎn)的過程，
由動能定理得：-μmgs-mg•2R=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_D²，
聯(lián)立以上兩式解得：μ≤$\frac{{v}_{D}^{2}-{v}^{2}-4gR}{2gs}$=0.125；
②小球進(jìn)入圓軌道后，小球上升的最大高度滿足：h≤R，小球可沿軌道返回．
小球從D點(diǎn)運(yùn)動到最高處的過程，由動能定理得
-μmgs-mgh=0-$\frac{1}{2}$mv_D²，解得：μ≥$\frac{{v}_{D}^{2}-2gR}{2gs}$=0.35；
答：（1）擺線能承受的最大拉力為10N；
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍是：μ≤0.125或μ≥0.35．

點(diǎn)評 本題考查了動能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，運(yùn)用動能定理解題，關(guān)鍵確定研究的過程，分析過程中有哪些力做功，結(jié)合動能定理列式研究．