Question

20．如圖，在xOy平面第一象限有一勻強(qiáng)電場，電場方向平行y軸向下．在第四象限內(nèi)存在一有界勻強(qiáng)磁場，左邊界為y軸，右邊界為x=$\frac{5l}{2}$的直線．磁場方向垂直紙面向外．一質(zhì)量為m、帶電量為q的正粒子從y軸上P點(diǎn)以初速度v₀垂直y軸射入勻強(qiáng)電場，在電場力作用下從x軸上Q點(diǎn)以與x軸正方向成45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場．已知OQ=l，不計(jì)粒子重力．求：
（1）電場強(qiáng)度的大小；
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍；
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍．

Answer 1

分析 （1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，已經(jīng)知道在Q點(diǎn)時(shí)的速度方向?yàn)?5°，可知此時(shí)沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出電場強(qiáng)度．
（2）對粒子在第四象限中的運(yùn)動軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力提供向心力的公式可求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場的軌跡，畫出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運(yùn)動軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）設(shè)粒子進(jìn)入電場時(shí)y方向的速度為v_y，則有：v_y=v₀tan45°
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動時(shí)間為t，則有：OQ=l=v₀t．
v_y=at
qE=ma
聯(lián)立各式解得：$E=\frac{m{v}_{0}^{2}}{ql}$
（2）粒子剛好能再進(jìn)入電場的軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)的軌跡半徑為r₁，

由幾何關(guān)系為：
r₁+r₁sin45°=l
解得：${r}_{1}=（2-\sqrt{2}）l$
粒子在磁場中的速度為：$v=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}$
根據(jù)牛頓第二定律有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${B}_{1}=\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$
則要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍為：${B}_{1}≥\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$
（3）要使粒子剛好能第二次進(jìn)入磁場的軌跡如圖．

粒子從P到Q的時(shí)間為t，則粒子從C到D的時(shí)間為2t，所以$\overline{CD}=2l$，$\overline{CQ}=\overline{CD}-\overline{QD}=2l-（\frac{5}{2}l-l）=\frac{1}{2}l$
設(shè)此時(shí)粒子在磁場中的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系有：$2{r}_{2}sin45°=\overline{CQ}$
則：${r}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}l$
根據(jù)牛頓第二定律有：$qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{{r}_{2}}$
則：${B}_{2}=\frac{4m{v}_{0}}{ql}$
要使粒子能第二次進(jìn)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍B₁≤B≤B₂，即：$\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}≤B≤\frac{4m{v}_{0}}{ql}$
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{ql}$；
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍：${B}_{1}≥\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}$；
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為 $\frac{（\sqrt{2}+1）m{v}_{0}}{ql}≤B≤\frac{4m{v}_{0}}{ql}$．

點(diǎn)評 帶電粒子在電場中的運(yùn)動，綜合了靜電場和力學(xué)的知識，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動狀態(tài)和運(yùn)動過程，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動的觀點(diǎn)，選用牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，選用動能定理和功能關(guān)系求解．經(jīng)對本題的分析可知，粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動，第一問還可以用能量進(jìn)行求解．本題第四象限內(nèi)存在著有界磁場，帶電粒子在第四象限內(nèi)運(yùn)動時(shí)，受到洛倫茲力的作用，將做有臨界狀態(tài)的圓周運(yùn)動，對臨界狀態(tài)的尋找與分析成為了解決此類為題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．此種類型的題能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．解此類問題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運(yùn)動的軌跡圖，抓住物理過程變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（列出對應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運(yùn)動的半徑與磁場邊界的約束關(guān)系．