Question

18．如圖所示，邊界OA與0C之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，邊界OA上有一粒子源S，0、S間的距離為a．某一時(shí)刻，從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子（不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用），所有粒子的初速度大小相同，經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場(chǎng)．已知∠AOC=60°粒子在該磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，則從邊界0C射出的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為（　　）

• A． $\frac{T}{3}$
• B． $\frac{T}{5}$
• C． $\frac{T}{7}$
• D． $\frac{T}{9}$

Answer 1

分析 本題已知帶電粒子在磁場(chǎng)中做完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和半徑，求它在特殊磁場(chǎng)中--三角形磁場(chǎng)中向各個(gè)方向發(fā)射粒子時(shí)的時(shí)間．時(shí)間問題當(dāng)屬偏轉(zhuǎn)角越大，時(shí)間就越長(zhǎng)，所以考慮最大偏轉(zhuǎn)角和最小偏轉(zhuǎn)角的情況即可．先用左手定則判斷粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的方向--順時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)，則沿SA方向入射時(shí)偏轉(zhuǎn)角最大；而偏轉(zhuǎn)角最小的情況弦長(zhǎng)最小時(shí)，偏轉(zhuǎn)角最小，而最小的弦長(zhǎng)是從S到OC的垂線段的長(zhǎng)，由幾何關(guān)系找到此種情況偏轉(zhuǎn)角，也就求出了最短時(shí)間．

解答 解：如圖，過S點(diǎn)作OA的垂線交OC于P，由幾何關(guān)系知SP=OS×tan60°=$\sqrt{3}a$=2r，所以當(dāng)粒子沿SA方向入射時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌跡恰為半圓從P點(diǎn)射出磁場(chǎng)區(qū)域，且時(shí)間最長(zhǎng)，${t}_{max}=\frac{1}{2}T$．要使運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短，根據(jù)$t=\frac{θ}{2π}T$，要求軌跡圓心角最小，軌跡的弦最短，即S到OC邊的距離最短，當(dāng)SQ垂直于OC時(shí)最短，所以粒子從Q點(diǎn)離開磁場(chǎng)時(shí)間最短，如圖所示．由幾何關(guān)系：∠AOC=60°，所以∠QPS=30°，所以$SQ=\frac{1}{2}SP$，故軌跡圓心角θ=60°，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{θ}{2π}T=\frac{1}{6}T$，即${t}_{min}=\frac{1}{6}T$．綜上所述，粒子在該磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)的時(shí)間范圍為$\frac{T}{6}--\frac{T}{2}$，所以選項(xiàng)AB正確，CD錯(cuò)誤．
故選：AB

點(diǎn)評(píng) 本題的難點(diǎn)在于求最短的時(shí)間，當(dāng)然最短時(shí)間對(duì)應(yīng)著最短的弧長(zhǎng)和弦長(zhǎng)，從S到磁場(chǎng)邊界OC的最小的距離當(dāng)屬垂線段的長(zhǎng)，即圖中SQ．而由幾何關(guān)系知SQ=$\frac{1}{2}SP$=r，所以偏轉(zhuǎn)角等于60°，最短時(shí)間為$\frac{1}{6}T$；至于最長(zhǎng)時(shí)間當(dāng)屬沿SA方向射出的粒子所偏轉(zhuǎn)的角度所用的時(shí)間．