Question

水平固定的兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑桿AB和CD，兩桿之間的距離為d，兩桿上各穿有質(zhì)量分別為m₁=1kg和m₂=2kg的小球，兩小球之間用一輕質(zhì)彈簧連接，彈簧的自由長(zhǎng)度也為d．開始時(shí)，彈簧處于自然伸長(zhǎng)狀態(tài)，兩小球靜止，如圖（a）所示．現(xiàn)給小球m₁一沿桿向右方向的瞬時(shí)初速度，以向右為速度的正方向，得到m₁的v-t圖象為如圖（b）所示的周期性圖線（以小球m₁獲得瞬時(shí)速度開始計(jì)時(shí)）．

（1）求出在以后的過(guò)程中m₂的速度范圍；    
（2）在圖（b）中作出小球m₂的v-t圖象；
（3）若在光滑桿上小球m₂右側(cè)較遠(yuǎn)處還穿有另一質(zhì)量為m₃=3kg的小球，該小球在某一時(shí)刻開始向左勻速運(yùn)動(dòng)，速率為v=4m/s，它將遇到小球m₂并與m₂結(jié)合在一起運(yùn)動(dòng)，求：在以后的過(guò)程中，彈簧彈性勢(shì)能的最大值的范圍？

Answer 1

分析：m₁和m₂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)量守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出2的幾個(gè)速度值，描點(diǎn)連成光滑曲線即可；
m₂和m₃碰撞后，根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律求解．

解答：解：（1）以m₁=1kg和m₂=2kg組成的系統(tǒng)在相互作用過(guò)程中，水平方向動(dòng)量守恒，所以
m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
解得：v₂=

v0-v1

2

當(dāng)v₁=6m/s時(shí)v₂=0
當(dāng)v₁=2m/s時(shí)v₂=2m/s
當(dāng)v₁=-2m/s時(shí)v₂=4m/s
所以m₂的速度范圍是0≤v₂≤4m/s
（2）所以一個(gè)周期內(nèi)m₂球的v-t圖象如圖所示：
（3）設(shè)m₂和m₃碰撞后的速度是v₂₃
  m₂v₂-m₃v=（m₂+m₃）v₂₃
設(shè)m₂和m₃碰撞過(guò)程中機(jī)械能損失△E
△E=

1

2

m3v2+

1

2

m2v22-

1

2

（m₂+m₃）

v

2 23

解得：△E=

3(v2+4)2

5

當(dāng)v₂=0，損失的機(jī)械能最小，△E_min=9.6J
當(dāng)v₂=4，損失的機(jī)械能最大，△E_max=38.4J   
當(dāng)三個(gè)球的速度相同時(shí)，彈性勢(shì)能最大，
根據(jù)動(dòng)量守恒得m₁v₀-m₃v=（m₁+m₂+m₃）v_共
解得：v_共=-1m/s
整個(gè)相同具有的總機(jī)械能E_總=

1

2

m1v02+

1

2

m3v 2
設(shè)彈簧彈性勢(shì)能的最大值是E_p，對(duì)全過(guò)程應(yīng)用能量守恒定律得：
E_總=

1

2

（m₁+m₂+m₃）v共2+△E+E_p
彈簧彈性勢(shì)能的最大值E_p=39-△E
彈簧彈性勢(shì)能的最大值的范圍是0.6J～29.4J
答：（1）m₂的速度范圍是0≤v₂≤4m/s
（2）如圖
（3）彈簧彈性勢(shì)能的最大值的范圍是0.6J～29.4J

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)量守恒定律，能量守恒定律的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析小球的運(yùn)動(dòng)情況，知道什么時(shí)候彈性勢(shì)能最大，過(guò)程較為復(fù)雜，難度較大，屬于難題．