Question

15．如圖所示，兩平行光滑的金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在水平面上，相距為L(zhǎng)，處于豎直向下的磁場(chǎng)中整個(gè)磁場(chǎng)由n個(gè)寬度皆為x₀的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域1、2、…、n組成，從左向右依次排列，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小分別為B、2B、3B、…、nB，兩導(dǎo)軌左端MP間接入電阻R，一質(zhì)量為m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放在水平導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌電接觸良好，不計(jì)導(dǎo)軌和金屬棒的電阻．

（1）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的力，使其從圖示位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)并穿過(guò)n個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，求導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過(guò)程中通過(guò)電阻R的電荷量q；
（2）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的恒力F₀，讓它從磁場(chǎng)區(qū)1左側(cè)邊界處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)向右運(yùn)動(dòng)距$\frac{{x}_{0}}{2}$時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，求棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間t；
（3）對(duì)導(dǎo)體棒ab施加水平向右的拉力，讓它從距離磁場(chǎng)區(qū)1左側(cè)x=x₀的位置由靜止開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)1時(shí)開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，此后在不同的磁場(chǎng)區(qū)施加不同的拉力，使棒ab保持做勻速運(yùn)動(dòng)穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)，求棒ab通過(guò)第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力Fi和棒ab在穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中回路產(chǎn)生的電熱Q．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均電流，帶入公式Q=It即可求出電量．
（2）線框開(kāi)始做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后勻速運(yùn)動(dòng)，對(duì)于變加速過(guò)程根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可以求出時(shí)間．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理可以求出導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度大小，在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)因此安培力等于力F₁，根據(jù)受力平衡可以求出力F₁，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒克服安培力做功，轉(zhuǎn)化為回路中的電熱，根據(jù)功能關(guān)系寫(xiě)出安培力做功表達(dá)式，然后依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)求解．

解答 解：（1）電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=$\frac{△Φ}{△t}$．通過(guò)電阻R的電荷量q=I△t=$\frac{E△t}{R}$．
導(dǎo)體棒穿過(guò)1區(qū)過(guò)程△Φ=BLx₀．
解得q=$\frac{BL{x}_{0}}{R}$
（2）棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，則v=$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設(shè)棒在前$\frac{{x}_{0}}{2}$距離運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則
由動(dòng)量定律：F₀ t₁-BqL=mv；
解得：t₁=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
設(shè)棒在后x0/2勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，則t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{2{F}_{0}R}$
所以棒通過(guò)區(qū)域1所用的總時(shí)間：t=t₁+t₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）進(jìn)入1區(qū)時(shí)拉力為F₁，速度v，則有F₁x=$\frac{1}{2}$mv²，
F₁-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=0．
解得F₁=$\frac{2{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$；
v=$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{mR}$．進(jìn)入i區(qū)時(shí)的拉力F_i=$\frac{（iB）^{2}{L}^{2}v}{R}$=$\frac{2{i}^{2}{B}^{4}{L}^{4}{x}_{0}}{m{R}^{2}}$．
導(dǎo)體棒以后通過(guò)每區(qū)都以速度v做勻速運(yùn)動(dòng)，由功能關(guān)系有
Q=F₁x₀+F₂x₀+F₃x₀+…+F_nx₀
解得Q=$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．
答：（1）導(dǎo)體棒穿越磁場(chǎng)區(qū)1的過(guò)程中通過(guò)電阻R的電荷量q為$\frac{BL{x}_{0}}{R}$；
（2）棒通過(guò)磁場(chǎng)區(qū)1所用的時(shí)間t為$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{x}_{0}}{{F}_{0}R}$+$\frac{mR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）棒ab通過(guò)第i磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的水平拉力Fi和棒ab在穿過(guò)整個(gè)磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中回路產(chǎn)生的電熱Q為$\frac{2{x}_{0}^{2}{B}^{4}{L}^{4}}{m{R}^{2}}$（1²+2²+3²+…n²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)中力學(xué)與功能問(wèn)題，物理過(guò)程比較簡(jiǎn)單，注意明確動(dòng)能定理的應(yīng)用即可，但難點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答物理問(wèn)題，要注意在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)分析物理問(wèn)題的能力．