Question

12．如圖所示，質(zhì)量為M的小球被一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的可繞O軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)的輕質(zhì)桿固定在其端點(diǎn)，同時(shí)又通過(guò)輕繩跨過(guò)光滑定滑輪與質(zhì)量為m的小球相連．不計(jì)摩擦，忽略桿水平時(shí)質(zhì)量為M的小球與滑輪間的距離，豎直繩足夠長(zhǎng)，若將M由桿呈水平狀態(tài)即由圖示位置開(kāi)始釋放，則（　�。�

• A． m在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒
• B． 當(dāng)m與M的速度相同時(shí)，其速度的大小為$\sqrt{\frac{（1.2M-m）gL}{M+m}}$
• C． 在m上升的過(guò)程中繩對(duì)m的拉力大于m的重力
• D． 若M能通過(guò)最低點(diǎn)，則其速度大小為$\sqrt{\frac{（4M-\sqrt{41}m+m）gL}{2（M+\frac{25}{41}m）}}$

Answer 1

分析 小球M從水平位置運(yùn)動(dòng)到豎直位置的過(guò)程中，M、m兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，M球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)，M球沿繩子方向上的分速度等于m的速度，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出小球M通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度大�。�當(dāng)系M的繩子與桿垂直時(shí)，m與M的速度相同時(shí)，再由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求兩者的速度大�。�

解答 解：A、由于繩子拉力對(duì)m做功，所以m在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能不守恒，故A錯(cuò)誤．
B、當(dāng)系M的繩子與桿垂直時(shí)，m與M的速度相同時(shí)，設(shè)此時(shí)桿與水平方向的夾角為α，根據(jù)幾何知識(shí)可得 cosα=$\frac{L}{\frac{5}{4}L}$=0.8，sinα=0.6
設(shè)M與m的速度大小為v．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守得：MgLsinα=mg（$\frac{5}{4}$Lsinα-$\frac{1}{4}$L）+$\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$，解得 v=$\sqrt{\frac{（1.2M-m）gL}{M+m}}$．故B正確．
C、m加速上升，處于超重狀態(tài)，則繩對(duì)m的拉力大于m的重力，故C正確．
D、M能通過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)系M的繩與豎直方向的夾角為θ，則由幾何知識(shí)可得 sinθ=$\frac{\frac{5}{4}L}{\sqrt{{L}^{2}+（\frac{5}{4}L）^{2}}}$=$\frac{5\sqrt{41}}{41}$
設(shè)此時(shí)M和m的速度分別為v_M、v_m，則v_Msinθ=v_m，
根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：MgL=mg（$\sqrt{{L}^{2}+（\frac{5}{4}L）^{2}}$-$\frac{1}{4}$L）+$\frac{1}{2}$Mv_M²+$\frac{1}{2}$mv_m²；
解得 v_M=$\sqrt{\frac{（4M-\sqrt{41}m+m）gL}{2（M+\frac{25}{41}m）}}$．故D正確．
故選：BCD

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要知道小球m在沿繩子方向上的分速度等于M的速度，對(duì)系統(tǒng)研究，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律進(jìn)行求解．