Question

11．如圖（甲）所示為一種研究高能粒子相互作用的裝置，兩個(gè)直線加速器均由k個(gè)長(zhǎng)度逐個(gè)增長(zhǎng)的金屬圓筒組成（整個(gè)裝置處于真空中，力中只畫(huà)出了6個(gè)圓筒，作為示意）它們沿中心軸線排列成一串，各個(gè)圓筒相間地連接到頻率為f、最大電壓值為U的正弦交流電源的兩端．設(shè)金屬圓筒內(nèi)部沒(méi)有電場(chǎng)，且每個(gè)圓筒間的縫隙寬度很小，帶電粒子穿過(guò)縫隙的時(shí)間可忽略不計(jì)．為達(dá)到最佳加速效果，應(yīng)當(dāng)調(diào)節(jié)至粒子穿過(guò)每個(gè)圓筒的時(shí)間恰為交流電的半個(gè)周期，粒子每次通過(guò)圓筒間縫隙時(shí)，都恰為交流電壓的峰值．
質(zhì)量為m、電荷量為e的正、負(fù)電子分別經(jīng)過(guò)直線加速器加速后，從左、右兩側(cè)被導(dǎo)入裝置送入位于水平面內(nèi)的圓環(huán)形真空管道，且被導(dǎo)入的速度方向與圓環(huán)形管道中粗虛線相切．在管道內(nèi)控制電子轉(zhuǎn)彎的是一系列圓形電磁鐵，即圖中的A₁、A₂、A₃…A_n，共n個(gè)，均勻分布在整個(gè)圓周上（圖中只示意性地用細(xì)實(shí)線和細(xì)虛線了幾個(gè)），每個(gè)電磁鐵內(nèi)的磁場(chǎng)都是磁感應(yīng)強(qiáng)度和方向均相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)區(qū)域都是直徑為d的圓形．改變電磁鐵內(nèi)電流的大小，就可改變磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，從而改變電子偏轉(zhuǎn)的角度．經(jīng)過(guò)精確的調(diào)整，可使電子在環(huán)形管道中沿圖中粗虛線所示的軌跡運(yùn)動(dòng)，這時(shí)電子經(jīng)過(guò)每個(gè)電磁鐵時(shí)射入點(diǎn)和射出點(diǎn)都在電磁鐵的一條直徑的兩端，如圖（乙）所示．這就為實(shí)現(xiàn)正、負(fù)電子的對(duì)撞作好了準(zhǔn)備．
（1）若正電子進(jìn)入第一個(gè)圓筒的開(kāi)口時(shí)的速度為v₀，且此時(shí)第一、二兩個(gè)圓筒的電勢(shì)差為U，正電子進(jìn)入第二個(gè)圓筒時(shí)的速率多大？
（2）正、負(fù)電子對(duì)撞時(shí)的速度多大？
（3）為使正電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)時(shí)獲得最大動(dòng)能，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足什么條件？
（4）正電子通過(guò)一個(gè)圓形磁場(chǎng)所用的時(shí)間是多少？

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在加速場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用動(dòng)能定理解決即可；
（2）帶電粒子在加速場(chǎng)中的多級(jí)加速，可對(duì)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理求解；
（3）仍然是帶電粒子在加速場(chǎng)中的多級(jí)加速過(guò)程，整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，去求解第N個(gè)圓筒的長(zhǎng)度所滿足的表達(dá)式；
（4）洛倫茲力提供向心力，與幾何關(guān)系結(jié)合，根據(jù)周期公式，結(jié)合電子在通過(guò)每一個(gè)圓形磁場(chǎng)所轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，即可求出粒子在每一個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答 解：
（1）設(shè)正電子進(jìn)入第二個(gè)圓筒時(shí)的速率為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理
        eU=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₀²
        解得：v₁=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2eU}{m}}$
（2）正負(fù)電子對(duì)撞時(shí)的動(dòng)能等于進(jìn)入第k個(gè)圓筒時(shí)的動(dòng)能E_k，根據(jù)動(dòng)能定理：
       （k-1）eU=$\frac{1}{2}$mv_k²-$\frac{1}{2}$mv₀²
        解得：v_k=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}$
（3）設(shè)正電子進(jìn)入第N個(gè)圓筒的速率為v_N-1，第N個(gè)圓筒的長(zhǎng)度為L(zhǎng)_N，則：
        L_N=v_N-1$\frac{T}{2}$=$\frac{{v}_{N-1}}{2f}$
        根據(jù)動(dòng)能定理（N-1）eU=$\frac{1}{2}$m${v}_{N-1}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
        第N個(gè)圓筒的長(zhǎng)度應(yīng)滿足的條件是：
        L_N=$\frac{1}{2f}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（N-1）eU}{m}}$   （N=1，2，3…k）
（4）設(shè)電子經(jīng)過(guò)1個(gè)電磁鐵的圓形磁場(chǎng)區(qū)過(guò)程中偏轉(zhuǎn)角度為θ，則θ=$\frac{2π}{n}$，
        由圖可知，電子射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度與通過(guò)射入點(diǎn)的磁場(chǎng)直徑夾角為$\frac{θ}{2}$，
        電子在磁場(chǎng)區(qū)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
        ev_kB=m$\frac{{v}_{k}^{2}}{R}$      R=$\frac{{mv}_{k}}{eB}$
        根據(jù)幾何關(guān)系：sin$\frac{θ}{2}$=$\fraczl755nx{2R}$
        解得：B=$\frac{2{mv}_{k}sin\frac{π}{n}}{de}$
        設(shè)正電子經(jīng)過(guò)一個(gè)圓形磁場(chǎng)所用的時(shí)間是t，則t=$\frac{θ}{2π}$T
        T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{eB}$
        所以：t=$\frac{πd}{2sin\frac{π}{n}\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}}$
答：（1）正電子進(jìn)入第二個(gè)圓筒時(shí)的速率為$\sqrt{{v}_{0}^{2}-\frac{2eU}{m}}$；
      （2）正、負(fù)電子對(duì)撞時(shí)的速度為v_k=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}$；
      （3）為使正電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)時(shí)獲得最大動(dòng)能，各個(gè)圓筒的長(zhǎng)度L_N應(yīng)滿足L_N=$\frac{1}{2f}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（N-1）eU}{m}}$   （N=1，2，3…k）；
      （4）正電子通過(guò)一個(gè)圓形磁場(chǎng)所用的時(shí)間t=$\frac{πd}{2sin\frac{π}{n}\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（k-1）eU}{m}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題過(guò)程較為復(fù)雜，但每個(gè)過(guò)程的難度都不大，考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)以及帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)；題干較長(zhǎng)，要求大家仔細(xì)分辨閱讀，找出有用的已知條件，建立物理模型．然后結(jié)合每一個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)形式，選取相應(yīng)的規(guī)律，對(duì)每一個(gè)過(guò)程進(jìn)行分析求解．