Question

14．宇航員站在某一星球距離表面h高處，以初速度v₀沿水平方向拋出一個(gè)質(zhì)量為m的小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，小球落到星球表面，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）該星球表面的重力加速度g
（2）小球即將落地時(shí)重力的功率P
（3）該星球的密度ρ

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)公式求星球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)$P=mg{v}_{y}^{\;}$求小球落地時(shí)重力的瞬時(shí)功率；
（3）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力求出星球質(zhì)量，由密度公式求出星球密度；

解答 解：（1）根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$，得$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）小球即將落地時(shí)重力的功率$P=mg{v}_{y}^{\;}=mg•gt=\frac{4m{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{3}}$
（3）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
即$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$
星球的密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πGR{t}_{\;}^{2}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度g為$\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
（2）小球即將落地時(shí)重力的功率P為$\frac{4m{h}_{\;}^{2}}{{t}_{\;}^{3}}$
（3）該星球的密度ρ為$\frac{3h}{2πGR{t}_{\;}^{2}}$

點(diǎn)評(píng) 本題是萬(wàn)有引力與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，要抓住平拋運(yùn)動(dòng)的加速度就等于重力加速度，能熟練運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法處理平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求天體的質(zhì)量．