Question

18．我國探月工程已規(guī)劃至“嫦娥四號”，并計劃在2017年將嫦娥四號探月衛(wèi)星發(fā)射升空．到時將實現(xiàn)在月球上自動巡視機(jī)器人勘測．已知萬有引力常量為G，月球表面的重力加速度為g，月球的平均密度為ρ，月球可視為球體．求：
（1）月球質(zhì)量M；
（2）嫦娥四號探月衛(wèi)星在近月球表面做勻速圓周運動的環(huán)繞速度v．

Answer 1

分析 月球表面的重力與萬有引力相等，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$求得質(zhì)量，繞月球圓周運動的向心力由萬有引力提供求得線速度，據(jù)此列式計算

解答 解：（1）設(shè)：月球半徑為R，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$…①
月球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$…②
由①②得：M=$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$…③
（2）萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…④
由①②得：R=$\frac{3g}{4πρG}$…⑤
由④⑤得：v=$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$…⑥
答：（1）月球質(zhì)量M為$\frac{9{g}^{3}}{16{π}^{2}{ρ}^{2}{G}^{3}}$；
（2）嫦娥四號探月衛(wèi)星在近月球表面做勻速圓周運動的環(huán)繞速度v為$\sqrt{\frac{3{g}^{2}}{4πρG}}$．

點評 月球表面的重力與萬有引力相等，衛(wèi)星繞月球做圓周運動萬有引力提供圓周運動的向心力，這個是萬有引力問題經(jīng)常用的表達(dá)式