Question

如圖所示，x軸上方有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直于紙面向里、大小為B，x軸下方有一勻強電場，電場強度的大小為E，方向與y軸的夾角θ=45°且斜向上方．現有一質量為m、電荷量為q的正離子，以速度v₀由y軸上的A點沿y軸正方向射入磁場，該離子在磁場中運動一段時間后從x軸上的C點進入電場區(qū)域，該離子經過C點時的速度方向與x軸夾角為
45°．不計離子的重力，設磁場區(qū)域和電場區(qū)域足夠大．
求：
（1）C點的坐標．
（2）離子從A點出發(fā)到第三次穿越x軸時的運動時間．

Answer 1

分析：帶電粒子從A點出發(fā)，至第一次到x軸為第一過程，在這個過程中，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，由“畫軌跡、找圓心、求半徑”的思路求解第（1）問，同時還可以求出這一過程的時間．（要盡力把圖做準確）
帶電粒子逆著電場力方向進入電場，在電場中做類似豎直上拋運動，這是第二過程．同牛頓第二定律和運動學公式，可以求這個過程的時間．
帶電粒子沒與x軸負向夾角為45°的方向進入磁場，在磁場中做勻速圓周運動，此為第三過程．再一次由由“畫軌跡、找圓心、求半徑”的思路過求得這一過程的時間．

解答：解：
（1）磁場中帶電粒子在洛侖茲力作用下做圓周運動，故有：qvB=m

v 2 0

r

同時有T=

2πr

v0

=

2πm

qB

粒子運動軌跡如圖所示，由幾何知識知，
xc=-(r+rcos45°)=-

(2+ 2 )mv0

2qB

故，C點坐標為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）設粒子從A到C的時間為t₁，由題意知：
t1=

5

8

T=

5πm

4qB

設粒子從進入電場到返回C的時間為t₂，其在電場中做勻變速運動，由牛頓第二定律和運動學知識，有：
qE=ma
2v₀=at₂
聯立以上解得：
t2=

2mv0

qE

設粒子再次進入磁場后在磁場中運動的時間為t₃，由題意得：
t3=

1

4

T=

πm

2qB

故而，設粒子從A點到第三次穿越x軸的時間為：
t=t1+t2+t3=

7πm

4qB

+

2mv0

qE

 答：（1）C點的坐標為(-

(2+ 2 )mv0

2qB

，0)．
（2）離子從A點出發(fā)到第三次穿越x軸時的運動時間為

7πm

4qB

+

2mv0

qE

．

點評：該題是一道綜合性較強的題，解決此類問題的方法及關鍵：
（1）．尋找突破口（程序法：順藤摸瓜，逆向思維法：反其道而行之．）
（2）．畫好軌跡圖（在畫圖的基礎上特別注意運用幾何知識尋找關系．）
（3）．巧選力學規(guī)律（力和運動的關系：根據帶電粒子所受的力，運用牛頓第二定律并結合運動學規(guī)律求解．功能關系：根據場力及其它外力對帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關系，從而可確定帶電粒子的運動情況，這條線索不但適用于均勻場，也適用于非均勻場．因此要熟悉各種力做功的特點．解決這類題時一定要注意臨界條件的挖掘：如“恰好”、“最大”、“最多”、“至少”…等關鍵詞，往往是解題的突破口．）