Question

如圖所示：為兩個(gè)共軸金屬圓筒，軸線與紙面垂直，內(nèi)筒半徑為R，筒壁為網(wǎng)狀（帶電粒子可無(wú)阻擋地穿過(guò)網(wǎng)格）．當(dāng)兩圓筒之間加上一定電壓后，在兩圓筒間的空間可形成沿半徑方向的電場(chǎng)．內(nèi)圓筒包圍的空間存在一沿圓筒軸線方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向指向紙內(nèi)．一束質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子以各種不同的速率自內(nèi)圓筒壁上的A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑射入磁場(chǎng)，現(xiàn)要求有的粒子的運(yùn)動(dòng)能滿足下面三個(gè)條件：①剛剛能到達(dá)外筒的內(nèi)壁而不與外筒相碰；②粒子恰能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)；③每個(gè)粒子在磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的總時(shí)間等于該粒子在所給磁場(chǎng)中做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期的一半．
（1）為了能滿足上述要求，內(nèi)、外筒間電壓的可能值應(yīng)是多少？
（2）討論上述電壓取最小值時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子自A點(diǎn)沿內(nèi)圓筒半徑方向射入磁場(chǎng)時(shí)的速度用v表示，進(jìn)入磁場(chǎng)后，在洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，并從內(nèi)筒表面上的A₁點(diǎn)射出磁場(chǎng)，射出磁場(chǎng)時(shí)的速度大小仍為v，方向沿過(guò)A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑方向，畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)牛頓第二定律與能量守恒定律，結(jié)合向心力表達(dá)式，并由幾何關(guān)系，即可求解；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)應(yīng)射入磁場(chǎng)的速度為最小，加在兩圓筒間的電壓亦為最小，確定偏轉(zhuǎn)次數(shù)與偏轉(zhuǎn)角度，由運(yùn)動(dòng)的半徑，可求出總路程．

解答：解：（1）如圖所示．粒子自A₁射出磁場(chǎng)后便進(jìn)入兩圓筒間的電場(chǎng)中，在電場(chǎng)力的作用下，粒子做減速直線運(yùn)動(dòng)，剛到達(dá)外圓筒的內(nèi)壁時(shí)，速度恰好減至零．然后粒子又在電場(chǎng)力作用下向A₁點(diǎn)做加速運(yùn)動(dòng)，回到時(shí)，粒子速度增大到v，并以此速度沿圓筒內(nèi)圓半徑方向第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下，粒子又做圓周運(yùn)動(dòng)，并從A₂點(diǎn)射出磁場(chǎng)．此后，粒子又再一次在電場(chǎng)中減速，到達(dá)外壁時(shí)調(diào)轉(zhuǎn)方向加速回到A₂點(diǎn)，從A₂點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，再做圓周運(yùn)動(dòng)并從A₃點(diǎn)射出磁場(chǎng)．這一過(guò)程多次重復(fù)到最后，粒子再次從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)．
設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)到從A₁點(diǎn)射出磁場(chǎng)經(jīng)歷的時(shí)間為t，繞圓心o′轉(zhuǎn)過(guò)的角度為Ф，
過(guò)A點(diǎn)和A₁點(diǎn)的內(nèi)圓筒半徑對(duì)其軸線o的張角為θ，
如圖所示．有φ=

v

r

t
φ+θ=π①
若粒子在磁場(chǎng)中經(jīng)過(guò)n次偏轉(zhuǎn)后能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)，應(yīng)滿足條件：
nθ=2kπ②
根據(jù)題意有nt=

T

2

③
而T=

2πr

v

④
解以上各式得
n=2k+1    k=1，2，3，…⑤
θ=

2k

2k+1

π    k=1，2，3，…⑥
連結(jié)圖中的OO′，由直角三角形AOO′可得tan

1

2

θ=

r

R

⑦
因r是粒子在洛侖茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，有qvB=m

v2

r

⑧
由①、⑦、⑧式得到粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度v=

BqR

m

tan

kπ

2k+1

⑨
設(shè)加在兩圓筒間的電壓為U，由能量守恒有qU=

1

2

mv2⑩
把⑨式代入⑩式得U=

R2B2q

2m

tan2

kπ

2k+1

   k=1，2，3，…
（2）當(dāng)k=1時(shí)，對(duì)應(yīng)射入磁場(chǎng)的速度為最小，加在兩圓筒間的電壓亦為最小，vmin=

RqB

m

3

Umin=

3

2

R2B2q

m

由⑤式可知粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的次數(shù)為n=3
由⑥式可知每次偏轉(zhuǎn)的角度θ₃=120°
由⑦式和⑥可知粒子在磁場(chǎng)內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r3=

3

R
粒子在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總路程s3=

3

πR
答：（1）為了能滿足上述要求，內(nèi)、外筒間電壓的可能值應(yīng)是得U=

R2B2q

2m

tan2

kπ

2k+1

   k=1，2，3，…；
（2）討論上述電壓取最小值時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況：偏轉(zhuǎn)的次數(shù)為n=3，每次偏轉(zhuǎn)的角度θ₃=120°，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r3=

3

R，在磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)的總路程s3=

3

πR．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握牛頓第二定律與能量守恒定律的應(yīng)用，注意幾何關(guān)系的巧用，同時(shí)理解運(yùn)動(dòng)的周期性，最后學(xué)會(huì)由偏轉(zhuǎn)的角度與半徑來(lái)確定運(yùn)動(dòng)的路程．