Question

4．如圖所示，在x軸上方有一豎直向下的勻強電場區(qū)域，電場強度大小為E=60V/m．x軸下方分布有多個磁感應強度大小為B=1T的條形勻強磁場區(qū)域，其寬度均為d₁=3cm，相鄰兩磁場區(qū)域的間距為d₂=4cm．現(xiàn)有一質量為m=6×10^-13kg，電荷量為q=1×10^-8C的帶正電粒子（不計重力）．
（1）將帶電粒子從y軸上坐標為y₁處以平行于x軸的某一初速度射入電場區(qū)域，帶電粒子運動經(jīng)過x軸上坐標值為x₁的Q點時，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，且剛好不會穿出第一個勻強磁場區(qū)域，求y₁和x₁．
（2）若粒子從y軸上坐標為（0，50cm）的點處由靜止釋放，求自釋放到粒子第二次過x軸的時間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)粒子剛好不會穿出第一個勻強磁場區(qū)域，畫出運動軌跡，由幾何關系找到圓周運動的半徑，求出圓周運動的速度即為類平拋運動的末速度，根據(jù)運動的分解求出水平分速度和豎直分速度，由速度公式和位移公式即可求出y₁和x₁；
（2）粒子由靜止釋放，先在電場中做勻加速直線運動，進入磁場中做圓周運動，進入無磁場區(qū)域做勻速直線運動，畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何關系求出在磁場中運動的半徑和圓心角，結合圓周運動的周期公式和勻變速直線運動的位移與時間公式，即可求出運動的總時間．

解答 解：（1）剛好不會穿出第一勻強磁場區(qū)域，畫出運動的軌跡如圖，

    由幾何關系：R（1-cos60°）=d₁
    解得：R=2d₁=6cm，
    帶電粒子在勻強磁場中運動，洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
    解得：v=1×10³m/s
    帶電粒子經(jīng)過Q點時沿y軸方向的分速度：${v}_{y}=vsin60°=5\sqrt{3}×1{0}^{2}m/s$
     由$a=\frac{Eq}{m}$
     ${v}_{y}^{2}=2a{y}_{1}$
    聯(lián)立解得：y₁=0.375m=37.5cm
    帶電粒子經(jīng)過Q點時沿x軸方向的分速度：${v}_{x}=vcos60°=5×1{0}^{2}m/s$
    由${y}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$解得$t=5\sqrt{3}×1{0}^{-4}$s
    ${x}_{1}={v}_{x}t=5×1{0}^{2}×5\sqrt{3}×1{0}^{-4}m=25\sqrt{3}cm$
    （2）當帶電粒子從y₂=50cm的位置由靜止釋放后，先在電場中加速，加速時間t₁滿足${y}_{2}=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
     解得：${t}_{1}=1×1{0}^{-3}s$
     設粒子進入磁場時的速度大小為v₂，在磁場中做圓周運動的軌道半徑為R₂，
     由動能定理有：$qE{y}_{2}=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
     解得：v₂=1×10³m/s；
    
    由$q{v}_{2}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}}$，解得R₂=6cm，
    根據(jù)帶電粒子在空間運動的軌跡可知，它最低能進入第二個磁場區(qū)域，
    帶電粒子經(jīng)過第一個無磁場區(qū)域時運動方向與x軸的夾角θ滿足：$cosθ=\frac{2r28n8p_{1}}{{R}_{2}}=0.5$ 
    解得：θ=60° 
    利用幾何關系可知，帶電粒子在磁場區(qū)域運動的總時間為半個圓周的運動時間：
    ${t}_{2}=\frac{1}{2}T=\frac{1}{2}•\frac{2π{R}_{2}}{{v}_{2}}=6π×1{0}^{-5}s$
    帶電粒子在無磁場區(qū)域的路程為：$s=\frac{2ivxyer8_{2}}{sinθ}=\frac{4\sqrt{3}}{75}m$
    運動時間：${t}_{3}=\frac{s}{{v}_{2}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}×1{0}^{-5}s$
    帶電粒子自釋放到第二次過x軸的時間：$t={t}_{1}+{t}_{2}+{t}_{3}=1.28×1{0}^{-3}$s
    
答：（1）y軸上坐標為y₁=37.5cm，x軸上坐標值為${x}_{1}=25\sqrt{3}cm$．
      （2）粒子自釋放到第二次過x軸的時間為1.28×10^-3s．

點評 本題考查帶電粒子在電場、磁場中的運動及其相關的知識點，意在考查學生靈活運用運動的分解和合成、動能定理、牛頓運動定律及其相關知識解決問題的能力．運動過程較多，綜合性較強，對作圖能力要求較高，準確畫出運動軌跡，并通過運動軌跡找?guī)缀侮P系，是解決這類問題的關鍵．