Question

豎直平面內(nèi)有一光滑圓弧形軌道，O為最低點，A、B兩點距O點的高度分別為h和4h，現(xiàn)從A點釋放一質(zhì)量為M的大物體，且每隔適當?shù)臅r間從B點釋放一質(zhì)量為m的小物體，它們和大物體碰撞后都結(jié)為一體，已知M=100m.

（1）若每當大物體向右運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞多少次后大物體的速度最��？

（2）若大物體第一次向右運動到O點時，和小物體碰撞，以后每當大物體向左運動到O點時，才與一個小物體碰撞，問共碰撞多少次后大物體能超過A點？

（3）若每當大物體運動到O點時，都有一個小物體與之碰撞，問碰撞50次后，大物體運動的最大高度為h的幾分之幾？

Answer 1

（1）A、B在O點速度大小分別為v_a、v_b

由機械能守恒定律：Mgh=Mv_A²  mg·4h=mv_B²

v_A=  v_B=2(2分)

設(shè)碰撞n次后速度最小

Mv_A-nmv_B=(M+nm)v_min                                                  

得Mv_A=nmv_B時速率最小  n=50次.                                      

（2）第一次碰：Mv_A-mv_B=(M+m)v                                       

設(shè)再碰k次：（M+m）v+kmv_B=(M+m+km)v_A                               

聯(lián)立解得k=3                                                            

故共碰4次.                                                             

（3）第1次碰：Mv_A-mv_B=(M+m)v₁

第2次碰：（M+m）v₁+mv_B=(M+2m)v₂

第3次碰：（M+2m）v₂-mv_B=(M+3m)v₃

第4次碰：（M+3m）v₃+mv_B=(M+4m)v₄

……

第50次碰：（M+49m）v₄₉+mv_B=(M+50m)v₅₀                                 

聯(lián)立得Mv_A=（M+50m）v₅₀                                               

v₅₀=v_A                                                               

則h′=h.