Question

1．如圖甲所示，一對(duì)平行金屬板M、N長(zhǎng)為L(zhǎng)，相距為d，O₁O為中軸線．當(dāng)兩板間加電壓U_MN=U₀時(shí)，兩板間為勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略兩極板外的電場(chǎng)．某種帶負(fù)電的粒子從O₁點(diǎn)以速度v₀沿O₁O方向射入電場(chǎng)，粒子恰好打在上極板M的中點(diǎn)，粒子重力忽略不計(jì)．
（1）求帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）若M、N間加如圖乙所示的交變電壓，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，從t=0開(kāi)始，前$\frac{T}{3}$內(nèi)U_MN=2U，后$\frac{2T}{3}$內(nèi)U_MN=-U，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持續(xù)射入電場(chǎng)，最終所有粒子恰好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，求U的值．
（3）若M、N間加如圖乙所示的交變電壓，其周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，大量的上述粒子仍然以速度v₀沿O₁O方向持續(xù)射入電場(chǎng)，最終所有粒子恰好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，求所有粒子在運(yùn)動(dòng)中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大�。�

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律可求得比荷；
（2）由題意可知粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，根據(jù)電場(chǎng)的周期性變化規(guī)律可明確粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，根據(jù)條件則可求得電壓值．
（3）在所有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，可以確定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好從中軸線飛出．它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最�。�在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從極板右側(cè)上、下邊緣處飛出．它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最大．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)過(guò)時(shí)間t₀打在M板中點(diǎn)，沿極板方向有：$\frac{L}{2}$=v₀t₀
垂直極板方向有：$\frac8gx3psp{2}$=$\frac{q{U}_{0}}{2md}{t}_{0}^{2}$
解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{4d7iiwdg^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$．
（2）粒子通過(guò)兩板時(shí)間 t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=T，從t=0時(shí)刻開(kāi)始，粒子在兩板間運(yùn)動(dòng)時(shí)，每個(gè)電壓變化周期的前三分之一時(shí)間內(nèi)方向垂直極板的加速度大小為：a₁=$\frac{2qU}{md}$
（或在每個(gè)電壓變化周期的后三分之二時(shí)間內(nèi)方向垂直極板的加速度大小為：a₂=$\frac{qU}{md}$）
所有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從極板右側(cè)上、下邊緣處飛出．它們?cè)陔妶?chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最大，則：$\fracx7mi2lm{2}$=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T   
可解得：U=$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）在所有粒子剛好能全部離開(kāi)電場(chǎng)而不打在極板上，可以確定在t=nT+$\frac{T}{6}$ 或t=nT+$\frac{2}{3}$T （n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好從中軸線飛出．它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最小，則偏離中軸線最小位移為：y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{6}$）$\frac{T}{2}$ 
可以確定在t=nT或t=nT+$\frac{1}{3}$T（n=0，1，2…）時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)的粒子恰好分別從極板右側(cè)上、下邊緣處飛出．它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過(guò)程中電場(chǎng)方向偏轉(zhuǎn)的距離最大，則偏離中軸線最大位移為：Y=$\frac{1}{2}$（a₁•$\frac{T}{3}$）T
所以粒子在運(yùn)動(dòng)中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大小為：$\frac{y}{Y}$=$\frac{1}{4}$．
答：（1）帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{4pn8cpgy^{2}{v}_{0}^{2}}{{U}_{0}{L}^{2}}$；
（2）U為$\frac{3{U}_{0}}{8}$．
（3）粒子在運(yùn)動(dòng)中偏離中軸線最小位移與最大位移比值的大小是$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵要正確分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，要掌握電場(chǎng)中類平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的合成與分解法，運(yùn)用動(dòng)力學(xué)規(guī)律解答．