Question

8．如圖所示，電阻不計的光滑平行金屬導軌MN和PQ水平放置，MP間接有阻值為R的電阻，導軌相距L，空間有豎直向下的勻強磁場．質量為m，電阻為R₀的導體棒CD垂直于導軌放置，并接觸良好．用平行于MN向右的水平力拉動CD從靜止開始運動，拉力的功率恒定為P．經過時間t導體棒CD達到最大速度v₀．
（1）求磁場磁感強度B的大�。�
（2）求該過程中電阻R上所產生的電熱．
（3）若換用恒力F拉動CD從靜止開始運動，導體棒CD達到最大速度將為2v₀．求恒力F的大小及當CD速度為v₀時棒的加速度．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出安培力，應用平衡條件求出磁感應強度大�。�
（2）應用能量守恒定律求出電阻上產生的焦耳熱．
（3）應用平衡條件求出恒力，應用牛頓第二定律求出加速度．

解答 解：（1）導體棒受到的安培力：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
由P=Fv可知，拉力：F=$\frac{P}{{v}_{0}}$，導體棒做勻速直線運動，
由平衡條件得：$\frac{P}{{v}_{0}}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
解得：B=$\frac{\sqrt{P（R+{R}_{0}）}}{L{v}_{0}}$；
（2）由能量守恒定律得：Pt=Q+$\frac{1}{2}$mv₀²，
電阻R上產生的熱量：Q_R=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$Q，
解得：Q_R=$\frac{R}{R+{R}_{0}}$（Pt-$\frac{1}{2}$mv₀²）；
（3）受到為2v₀時導體棒受到的安培力：F_安培′=BI′L=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+{R}_{0}}$，
導體棒勻速運動，由平衡條件得：F=$\frac{{2B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R+{R}_{0}}$
解得：F=$\frac{2P}{{v}_{0}}$；
當受到為v₀時，安培力：F_安培=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{{R}_{0}+R}$，
由牛頓第二定律得：F-F_安培=ma，
解得：a=$\frac{P}{m{v}_{0}}$；
答：（1）磁場磁感強度B的大小為$\frac{\sqrt{P（R+{R}_{0}）}}{L{v}_{0}}$．
（2）該過程中電阻R上所產生的電熱為$\frac{R}{R+{R}_{0}}$（Pt-$\frac{1}{2}$mv₀²）．
（3）恒力F的大小為$\frac{2P}{{v}_{0}}$，當CD速度為v₀時棒的加速度為$\frac{P}{m{v}_{0}}$．

點評 導體棒勻速運動，拉力與安培力相等，應用安培力公式求出安培力、應用功率公式P=Fv求出拉力，然后應用平衡條件可以求出磁感應強度；分析導體棒的運動過程，應用能量守恒定律、安培力公式與牛頓第二定律可以解題．