Question

（18分）

如圖所示，平面直角坐標(biāo)系的y軸豎直向上，x軸上的P點(diǎn)與Q點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，距離為2a。有一簇質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電微粒，在平面內(nèi)，從P點(diǎn)以相同的速率斜向右上方的各個(gè)方向射出（即與x軸正方向的夾角θ，），經(jīng)過某一個(gè)垂直于平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域后，最終會(huì)聚到Q點(diǎn)，這些微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡關(guān)于y軸對(duì)稱。為保證微粒的速率保持不變，需要在微粒的運(yùn)動(dòng)空間再施加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)。重力加速度為g。求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小和方向；

（2）若微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，求與軸正方向成30°角射出的微粒從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間；

（3）若微粒從P點(diǎn)射出時(shí)的速率為v，試推出在的區(qū)域中磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)坐標(biāo)與之間滿足的關(guān)系式。

 

Answer 1

（1），方向豎直向上。

（2）

（3）

解析:（1）由題意可知，微粒所受電場(chǎng)力與重力平衡，即

                    （2分）

   解得：，方向豎直向上。   （1分）

（2）根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)A、C分別為微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的射入點(diǎn)和射出點(diǎn)。根據(jù)幾何關(guān)系可得：

A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），C點(diǎn)坐標(biāo)為（，）      （2分）

微粒運(yùn)動(dòng)的路程為 （2分）

       設(shè)微粒運(yùn)動(dòng)的速率為v，它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)洛    侖茲力提供向心力，即

                  （2分）

              （2分）

解得：    （1分）

（3）如圖所示，設(shè)微粒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為，在的區(qū)域內(nèi)，設(shè)微粒離開磁場(chǎng)后的速度方向與x軸夾角為。根據(jù)幾何關(guān)系可得：

                  （2分）

             （2分）

代入相關(guān)數(shù)據(jù)并化簡(jiǎn)得：       （2分）