Question

如圖，在xOy平面第一象限整個(gè)區(qū)域分布一勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向平行y軸向下．在第四象限內(nèi)存在一有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左邊界為y軸，右邊界為x=

5l

2

的直線，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外．一質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子從y軸上P點(diǎn)以初速度v₀垂直y軸射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)力作用下從x軸上Q點(diǎn)以與x軸正方向45°角進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)．已知OQ=l，不計(jì)粒子重力．求：
（1）P與O兩點(diǎn)的距離；
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍；
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在y軸方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，已經(jīng)知道在Q點(diǎn)時(shí)的速度方向?yàn)?5°，可知此時(shí)沿兩個(gè)坐標(biāo)軸的速度都是v₀，在x軸和y軸分別列式，可求出OP的距離．
（2）、對(duì)粒子在第四象限中的運(yùn)動(dòng)軌道進(jìn)行分析，找到臨界狀態(tài)，即軌道恰好與y軸相切為軌道的最大半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出此時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，該磁感應(yīng)強(qiáng)度為最小值，從而可表示出磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．
（3）、首先要分析粒子恰能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的軌跡，畫出軌跡圖，結(jié)合軌跡圖可求出CQ之間的距離，由幾何關(guān)系再求出在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌道的半徑，結(jié)合洛倫茲力做向心力的公式可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值，從而可得磁感應(yīng)強(qiáng)度的范圍．

解答：解：
（1）、設(shè)粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)y方向的速度為v_y，
vy=v0tan45°
設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則有：

.

OQ

=v0t

.

OP

=

.

vy

t=

vy

2

t
由以上各式，得

.

OP

=

l

2

（2）、粒子剛好能再進(jìn)入電場(chǎng)的軌跡如圖所示，設(shè)此時(shí)的軌跡半徑為r₁
r1+r1sin45°=l
r1=(2-

2

)l
粒子在磁場(chǎng)中的速度
v=

v0

cos450

=

2

v0
根據(jù)牛頓第二定律
qvB1=m

v2

r1

得：B1=

( 2 +1)m v0

ql

要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍B≥

( 2 +1)mv0

ql

（3）要使粒子剛好能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)的軌跡如圖．粒子從P到Q的時(shí)間為t，則粒子從C到D的時(shí)間為2t，所以

.

CD

=2l
  

.

CQ

=

.

CD

-

.

QD

 =2l-(

5l

2

-l)=

l

2

設(shè)此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為r₂，由幾何關(guān)系2r2sin45°=

.

CQ

r2=

2

4

l
根據(jù)牛頓第二定律qvB2=m

v2

r2

B2=

4mv0

ql

要使粒子能第二次進(jìn)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的范圍B₁≤B≤B₂ 
即 

( 2 +1)mv0

ql

≤B≤

4mv0

ql

答：（1）P與O兩點(diǎn)的距離為

l

2

．
（2）要使粒子能再進(jìn)入電場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為B≥

( 2 +1)mv0

ql

．
（3）要使粒子能第二次進(jìn)入磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的取值范圍為

( 2 +1)mv0

ql

≤B≤

4mv0

ql

．

點(diǎn)評(píng)：帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，綜合了靜電場(chǎng)和力學(xué)的知識(shí)，分析方法和力學(xué)的分析方法基本相同．先分析受力情況再分析運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和運(yùn)動(dòng)過程，然后選用恰當(dāng)?shù)囊?guī)律解題．解決這類問題的基本方法有兩種，第一種利用力和運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，選用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第二種利用能量轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)，選用動(dòng)能定理和功能關(guān)系求解．經(jīng)對(duì)本題的分析可知，粒子在第一象限內(nèi)做類平拋運(yùn)動(dòng)，第一問還可以用能量進(jìn)行求解．
本題第四象限內(nèi)存在著有界磁場(chǎng)，帶電粒子在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，受到洛倫茲力的作用，將做有臨界狀態(tài)的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)臨界狀態(tài)的尋找與分析成為了解決此類為題的重點(diǎn)和難點(diǎn)．此種類型的題能充分考查考生的綜合分析能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力．解此類問題的關(guān)鍵是做出帶電粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，抓住物理過程變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)（列出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程），找出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑與磁場(chǎng)邊界的約束關(guān)系．