Question

12．如圖所示，光滑水平面MN的左端M處有一彈射裝置P，右端N處與水平傳送帶恰平齊且很靠近，傳送帶沿逆時針方向以恒定速率v=5m/s勻速轉(zhuǎn)動，水平部分長度L=4m．放在水平面上的兩相同小物塊A、B（均視為質(zhì)點）間有一被壓縮的輕質(zhì)彈簧，彈性勢能E_P=4J，彈簧與A相連接，與B不連接，B與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，物塊質(zhì)量m_A=m_B=1kg．現(xiàn)將A、B由靜止開始釋放，彈簧彈開，在B離開彈簧時，A未與P碰撞，B未滑上傳送帶．取g=10m/s²．求：

（1）B滑上傳送帶后，向右運動的最遠處（從地面上看）與N點間的距離s_m；
（2）B從滑上傳送帶到返回到N點的時間t和這一過程中B與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱能Q；
（3）若B與被彈射裝置P彈回的A再次作用后又滑上傳送帶，則P必須給A做多少功才能使B從Q端滑出．

Answer 1

分析 （1）彈簧彈開的過程中，系統(tǒng)機械能守恒，結(jié)合動量守恒，解得A和B的速度，B滑上傳送帶做勻減速運動，當速度減為0時，向右運動的距離最大，由動能定理即可求解；
（2）物塊B先向右做勻減速運動，直到速度減小為0，然后反方向做勻加速運動，到皮帶左端時速度大小仍為v_B由動量定理解出運動時間，分別求出B向右勻減速運動因摩擦力而產(chǎn)生的熱能和向左勻加速運動因摩擦力而產(chǎn)生的熱能，進而求出總熱能．
（3）B能從Q端滑出的條件是B到達后速度大于等于零，然后根據(jù)功能關(guān)系列方程可正確解答．

解答 解：（1）彈簧彈開的過程中，系統(tǒng)的機械能守恒，則有
  E_p=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
取向左為正方向，由動量守恒定律得：
  m_Av_A-m_Bv_B=0
聯(lián)立以上兩式解得：v_A=2m/s，v_B=2m/s
B滑上傳送帶做勻減速運動，當速度減為0時，向右運動的距離最大．
由動能定理得：-μm_Bgs_m=0-$\frac{1}{2}$m_Bv_B²
解得：s_m=$\frac{{v}_{B}^{2}}{2μg}$=1m
（2）物塊B先向右做勻減速運動，直到速度減小為0，然后反方向做勻加速運動，
到皮帶左端時速度大小仍為 v_B=2m/s
由動量定理得：-μm_Bgt=-m_Bv_B-m_Bv_B
解得：t=$\frac{2{v}_{B}}{μg}$=$\frac{2×2}{0.2×10}$s=2s
B向右勻減速運動因摩擦力而產(chǎn)生的熱能為：
   Q₁=μm_Bg（$\frac{vt}{2}$+s_m）
B向左勻加速運動因摩擦力而產(chǎn)生的熱能為：
  Q₂=μm_Bg（$\frac{vt}{2}$-s_m）
因摩擦而產(chǎn)生的總熱能為 Q=Q₁+Q₂=μm_Bgvt=0.2×1×10×5×2J=20J
（3）設彈射裝置給A做功為W，則有：$\frac{1}{2}$m_Aυ_A′²=$\frac{1}{2}$m_Aυ_A²+W
AB碰后速度互換，B的速度：υ_B′=υ_A′
B要滑出平臺Q端，由能量關(guān)系有：
   $\frac{1}{2}$m_Bυ_B′²≥μm_BgL
又 m_A=m_B
由以上四式聯(lián)立，解得：W≥μm_BgL-$\frac{1}{2}$m_Aυ_A²
代入數(shù)據(jù)解得：W≥6J
答：（1）B滑上傳送帶后，向右運動的最遠處（從地面上看）與N點間的距離s_m是1m．
（2）B從滑上傳送帶到返回到N點的時間t是2s，這一過程中B與傳送帶間因摩擦而產(chǎn)生的熱能Q是20J；
（3）若B與被彈射裝置P彈回的A再次作用后又滑上傳送帶，則P必須給A做6J功才能使B從Q端滑出．

點評 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚兩個物體的運動情況，把握隱含的臨界條件，再分段由牛頓定律、運動學公式和動量守恒定律，能量守恒定律研究．