Question

（2011?石景山區(qū)一模）一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為 m=0.05kg 的小球A，另一端套在光滑水平細(xì)軸O上，O到小球的距離為 L=0.1m，小球與水平地面接觸，但無相互作用．在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個光滑的斜面和一個擋板，二者之間的水平距離S=2m，如圖所示．現(xiàn)有一滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上高度h=3m處由靜止滑下，與小球碰撞時沒有機(jī)械能損失、二者互換速度，與檔板碰撞時以同樣大小的速率反彈．若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊B與水平地面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.25，g取 10m/s²．求：
（1）滑塊B與小球第一次碰撞前瞬間，B速度的大小；
（2）滑塊B與小球第一次碰撞后瞬間，繩子對小球的拉力；
（3）小球在豎直平面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動的次數(shù)．

Answer 1

分析：（1）取滑塊B從斜面高度h處滑下到與小球第 一次碰撞前的過程為研究對象，應(yīng)用動能定理，可求出滑塊B的速度．
（2）根據(jù)速度互換得到A球的速度，利用牛頓第二定律和向心力來源的分析得到繩子上的拉力．
（3）小球在豎直平面內(nèi)做完整圓周運(yùn)動時，在最高點(diǎn)有臨界速度即最小速度V=

gR

，根據(jù)能量守恒得到小球在最低點(diǎn)的最小速度，那么滑塊最終速度也是這個最小速度，對滑塊應(yīng)用動能定理，可以求得滑塊的總路程，根據(jù)兩側(cè)距離與總路程的關(guān)系推斷出完整圓周次數(shù)．

解答：解：（1）滑塊B從斜面高度h處滑下與小球第一次碰撞前瞬間速度為v₀，
由動能定理得：mgh-μmg

S

2

=

1

2

m

v

2 0

求得：v₀=

55

m/s=7.4m/s  
（2）滑塊B與小球碰撞，沒有機(jī)械能損失，對小球由牛頓第二定律得：
FT-mg=m

vA2

L

    
V_A=V₀₌

55

m/s
求得：F_T=28N
（3）小球恰能完成一次完整的圓周運(yùn)動，設(shè)它到最高點(diǎn)的速度為v₁，小球在最低點(diǎn)速度為v，
則有mg=m

v 2 1

L

   

1

2

mv2=mg?2L+

1

2

m

v

2 1

求得：v=

5

m/s
小球做完整圓周運(yùn)動時，碰后的速度至少為v=

5

m/s，由于滑塊B與小球A碰后交換速度，則滑塊B最終速度至少也為v=

5

m/s，經(jīng)過的路程為S_總，則：mgh-μmgS總=

1

2

mv2
求得：S_總=11m
小球做完整的圓周運(yùn)動的次數(shù)為：n=

S總- S 2

S

+1
求得：n=6   
答：（1）滑塊B與小球第一次碰撞前瞬間B速度7.4m/s
（2）滑塊B與小球第一次碰撞后瞬間繩子對小球的拉力 28N
（3）小球在豎直平面內(nèi)做6次完整圓周運(yùn)動

點(diǎn)評：本題是一道考查動能定理、圓周運(yùn)動最低點(diǎn)受力方程以及“輕繩類”圓周運(yùn)動最高點(diǎn)速度臨界值的思維含量比較大運(yùn)算過程復(fù)雜的中檔次好題．