Question

有一個(gè)固定豎直放置的圓形軌道，半徑為R，由左右兩部分組成．如圖所示，右半部分AEB是光滑的，左半部分BFA是粗糙的．現(xiàn)在最低點(diǎn)A給一質(zhì)量為m的小球一個(gè)水平向右的初速度v₀，使小球沿軌道恰好能過(guò)最高點(diǎn)B，且又能沿BFA回到A點(diǎn)，回到A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為4mg．不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g．求：
（1）小球的初速度v₀大��；
（2）小球沿BFA回到A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：給小球一初速度后，小球沿AEB做圓周運(yùn)動(dòng)，小球恰好過(guò)最高點(diǎn)，故在最高點(diǎn)B處只受重力，mg=m

vB2

R

解得小球在B點(diǎn)v_B=

gR

．解決該題關(guān)鍵在于此．然后有動(dòng)能定理或機(jī)械能守衡定律解出v₀．
在最低點(diǎn)A、小球受到的支持力和重力的合力充當(dāng)向心力．由此可以解出v_A．再由動(dòng)能定理即可解出摩擦力作的功．

解答：解：（1）對(duì)小球由AEB恰好通過(guò)B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律：
mg=m

vB2

R

   v_B=

gR

根據(jù)動(dòng)能定理：

1

2

mv B2-

1

2

mv 02=-mg-R    解得：v₀=

5gR

  
（2）由于回到A點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道壓力為4mg
根據(jù)牛頓第二定律：4mg-mg=

mvA2

R

，v_A=

3gR

 
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理：
2mgR-W_f=

1

2

mv_A²-

1

2

mgR  
   解得：W_f=mgR    
答：（1）小球的初速度v₀大小為

5gR

；
（2）小球沿BFA回到A點(diǎn)時(shí)的速度大小

3gR

；
（3）小球由B經(jīng)F回到A的過(guò)程中克服摩擦力所做的功mgR．

點(diǎn)評(píng)：題為圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能的結(jié)合，只要掌握了相關(guān)知識(shí)，挖掘出題中的關(guān)鍵字句隱含的條件，運(yùn)用圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能的知識(shí)即可解決．