Question

6．萬有引力定律揭示了天體運(yùn)動(dòng)規(guī)律與地上物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律具有內(nèi)在的一致性．
（1）用彈簧測(cè)力計(jì)稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同結(jié)果．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的讀數(shù)是F₀．
①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F₁，求比值$\frac{F_1}{F_0}$的表達(dá)式，并就h=1.0%R的情形算出具體數(shù)值（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
②若在赤道表面稱量，彈簧測(cè)力計(jì)讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{F_2}{F_0}$的表達(dá)式．
（2）設(shè)想地球繞太陽公轉(zhuǎn)的圓周軌道半徑為r、太陽半徑為R_s和地球的半徑R三者均減小為現(xiàn)在的1.0%，而太陽和地球的密度均勻且不變．僅考慮太陽與地球之間的相互作用，以現(xiàn)實(shí)地球的1年為標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算“設(shè)想地球”的1年將變?yōu)槎嚅L(zhǎng)？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表達(dá)式，并求出具體的數(shù)值．
在赤道，由于萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}^{\;}}{{F}_{0}^{\;}}$的表達(dá)式
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得出周期與軌道半徑以及太陽半徑的關(guān)系，從而進(jìn)行判斷．

解答 解：（1）設(shè)物體的質(zhì)量為m
①在北極地面   ${F_0}=\frac{GMm}{R^2}$
在北極上空高出地面h處    ${F_1}=\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}$
$\frac{F_1}{F_0}=\frac{R^2}{{{{（R+h）}^2}}}$
當(dāng)  h=1.0%R時(shí)   $\frac{F_1}{F_0}=\frac{1}{{{{（1+0.01）}^2}}}≈0.98$
②在赤道地面，物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到萬有引力和彈簧測(cè)力計(jì)的拉力，有   $\frac{GMm}{R^2}-{F_2}=\frac{{m4{π^2}}}{T^2}R$
聯(lián)立可得：$\frac{F_2}{F_0}=1-\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{GM{T^2}}}$
（2）地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到太陽的萬有引力．設(shè)太陽的質(zhì)量為M_s，太陽的半徑為R_s，地球質(zhì)量為M，地球公轉(zhuǎn)周期為T_E，則$\frac{{G{M_s}M}}{r^2}=\frac{{M4{π^2}}}{T_E^2}r$得    ${T_E}=\sqrt{\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{M_s}}}}=\sqrt{\frac{3π}{Gρ}{{（\frac{r}{R_s}）}^3}}$
其中，ρ為太陽的密度．由上式可知：地球公轉(zhuǎn)周期T_E僅與太陽的密度、地球公轉(zhuǎn)軌道半徑和太陽半徑之比有關(guān)．因此，“設(shè)想地球”的1年與現(xiàn)實(shí)地球的1年時(shí)間相同．
答：（1）①比值$\frac{F_1}{F_0}$的表達(dá)式$\frac{{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$，并就h=1.0%R的情形算出具體數(shù)值0.98
②比值$\frac{F_2}{F_0}$的表達(dá)式$1-\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{GM{T}_{\;}^{2}}$
（2）計(jì)算“設(shè)想地球”的地球公轉(zhuǎn)周期不變．仍然為1年．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．