Question

20．用彈簧秤稱量一個(gè)相對(duì)于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會(huì)有不同的結(jié)果．已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G．將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響．設(shè)在地球北極地面稱量時(shí)，彈簧秤的讀數(shù)是F₀
（1）若在北極上空高出地面h=$\frac{1}{100}$R處稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₁，求比值$\frac{F_1}{F_0}$．（計(jì)算結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；
（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，求比值$\frac{F_2}{F_0}$的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力得出比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式，并求出具體的數(shù)值．
（2）在赤道，由于萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，根據(jù)該規(guī)律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式

解答 解：（1）在地球北極點(diǎn)不考慮地球自轉(zhuǎn)，則秤所稱得的重力則為其萬有引力，于是有：
F₀=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$…①
F₁=$\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$…②
由公式①②可以得出：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$=$\frac{{R}^{2}}{{（R+h）}^{2}}$=0.98．
（2）F₂=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-mω²R=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$-m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$R…③
①和③可得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$
答：（1）若在北極上空高出地面h=$\frac{1}{100}$R處稱量，比值$\frac{{F}_{1}}{{F}_{0}}$大小是0.98；
（2）若在赤道地面稱量，彈簧秤讀數(shù)為F₂，比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表達(dá)式是$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$=1-$\frac{{{4π}^{2}R}^{3}}{{GMT}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個(gè)分力等于重力，另一個(gè)分力提供隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力．