Question

宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)（假設(shè)三顆星的質(zhì)量均為m，引力常量為G），通�？珊雎云渌�星體對(duì)它們的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：第一種形式是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行，則兩顆運(yùn)動(dòng)星體的運(yùn)動(dòng)周期為

4π

R3 5Gm

；第二種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，周期與第一種形式相同，則三顆星之間的距離為

R

3	12 5

．

Answer 1

分析：兩種形式行星均靠其它兩顆行星的對(duì)它萬(wàn)有引力的合力提供向心力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

解答：解：第一種形式三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行，軌道半徑為R，則G

m2

R2

+G

m2

4R2

=m

4π2

T2

R．
解得，T=4π

R3 5Gm

；
第二種形式：設(shè)三顆星之間的距離為L(zhǎng)，軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r=

L 2

cos30°

=

3

3

L．
則有2

Gm2

L2

cos30°=m

4π2

T2

r．
聯(lián)立解得，L=R

3	12 5

故答案為：4π

R3 5Gm

；R

3	12 5

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道行星做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，以及會(huì)通過(guò)幾何關(guān)系求出做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．