Question

8．如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為α=30°，導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì)，導(dǎo)軌處在垂直導(dǎo)軌平面向上的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．兩根電阻都為R=2Ω、質(zhì)量都為m=0.2kg的完全相同的金屬棒ab和cd垂直于MN、PQ并排靠緊放置在導(dǎo)軌上端，與磁場(chǎng)上邊界的距離為s=1.6m，有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為3s=4.8m．先將金屬棒ab由靜止釋放，金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)恰好做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)立即由靜止釋放金屬棒cd，金屬棒cd在出磁場(chǎng)前已做勻速運(yùn)動(dòng)．兩金屬棒在下滑過程中與導(dǎo)軌始終接觸良好，不計(jì)金屬棒的粗細(xì)．求：
（1）金屬棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v和電流I
（2）金屬棒ab通過磁場(chǎng)過程的時(shí)間t
（3）兩根金屬棒全部通過磁場(chǎng)過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q
（4）金屬棒cd在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程中通過回路橫截面積的電量q．

Answer 1

分析 （1）對(duì)導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)前過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解，得到進(jìn)入磁場(chǎng)的速度；然后根據(jù)平衡條件、安培力公式、切割公式、歐姆定律列式求解；
（2）金屬棒cd加速下滑過程，ab棒勻速運(yùn)動(dòng)，cd棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，兩根棒速度相同，故無感應(yīng)電流，不受安培力，一起加速；ab棒出磁場(chǎng)后，cd棒先減速后勻速，也可能一直減速；明確運(yùn)動(dòng)過程，根據(jù)動(dòng)力學(xué)公式即可求得總時(shí)間；
（3）根據(jù)q分第一根導(dǎo)體棒穿過磁場(chǎng)和第二個(gè)根導(dǎo)體棒穿過磁場(chǎng)過程（兩個(gè)導(dǎo)體棒都在磁場(chǎng)中時(shí)，兩個(gè)棒的速度相同，無感應(yīng)電流，無電熱）進(jìn)行討論，第二根離開磁場(chǎng)過程根據(jù)動(dòng)能定理列式求解．
（4）明確導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)中線圈中磁通量變化，再根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求解求均電動(dòng)勢(shì)，從而求出電量q．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理，得到：mgxsinα=$\frac{1}{2}$mv₁²，
解得：v₁═4m/s
此后棒勻速下滑，根據(jù)切割公式，有：E=BLv₁
根據(jù)歐姆定律，有：E=I×2R
根據(jù)安培力公式，有：F=BIL
根據(jù)平衡條件，有：mgsinα=BIL
聯(lián)立得到：mgsinα=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{2R}$
解得：BL=1T•m 
又由于BIL=mgsinα，
解得：I=1A；
（2）金屬棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)以速度v先做勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，當(dāng)金屬棒cd也進(jìn)入磁場(chǎng)，速度也為v，由金屬棒cd運(yùn)動(dòng)得：
t₁=$\frac{s}{\frac{v}{2}}$=$\frac{2s}{v}$=$\frac{2s}{\sqrt{2gsinαs}}$
解得：t₁=0.8s；
此時(shí)金屬棒ab在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)距離為：x=vt₁=2s
當(dāng)兩金屬棒都進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，金屬棒ab做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t2，運(yùn)動(dòng)的距離為3s-2s=s
由速度公式可得：s=vt₂+$\frac{1}{2}$gsinαt₂²
解得：t₂=$\frac{\sqrt{16gsinαs}-\sqrt{8gsinαs}}{2gsinα}$=$\frac{（2\sqrt{2}-2）s}{\sqrt{2gsinαs}}$=0.8（$\sqrt{2}$-1）s
總時(shí)間為：t=t₁+t₂=0.8（$\sqrt{2}$-1）+0.8=0.8$\sqrt{2}$s；
（3）金屬棒ab在磁場(chǎng)中（金屬棒cd在磁場(chǎng)外）回路產(chǎn)生的焦耳熱為：
Q₁=mgsinα×2s=3.2J 
金屬棒ab、金屬棒cd都在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，回路不產(chǎn)生焦耳熱．兩棒加速度均為gsinα，ab離開磁場(chǎng)時(shí)速度為v₂，v₂²-v₁²=2gxsinα，
解得：v₂=$\sqrt{4gssinα}$=4$\sqrt{2}$m/s
金屬棒cd在磁場(chǎng)中（金屬棒ab在磁場(chǎng)外），金屬棒cd的初速度為v₂=4$\sqrt{2}$m/s，末速度為$\sqrt{2gssinα}$=4m/s，由動(dòng)能定理可得：
mgsinα×2s-Q₂=$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{2gssinα}$）²-$\frac{1}{2}$m（$\sqrt{4gssinα}$）²
Q₂=mgsinα×3s=4.8J
故總的焦耳熱為：Q=Q₁+Q₂=mgsinα×5x=8J
（4）設(shè)經(jīng)過時(shí)間t₁，金屬棒cd也進(jìn)入磁場(chǎng)，其速度也為v₁，金屬棒cd在磁場(chǎng)外有x=$\frac{1}{2}$v₁•t₁，此時(shí)金屬棒ab在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)距離為：X=v₁t₁=2x，
兩棒都在磁場(chǎng)中時(shí)速度相同，無電流，金屬棒cd在磁場(chǎng)中而金屬棒ab已在磁場(chǎng)外時(shí)，cd棒中才有電流，cd棒加速運(yùn)動(dòng)的位移為2x；
電量為q=$\frac{△Φ}{2R}$=$\frac{BL2s}{2R}$=$\frac{BLs}{R}$=$\sqrt{\frac{ms\sqrt{2gsinαs}}{R}}$
解得：q=0.8C．
答：（1）金屬棒ab進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度v和電流I分別為4m/s和1A；
（2）金屬棒ab通過磁場(chǎng)過程的時(shí)間t為0.8$\sqrt{2}$s
（3）兩根金屬棒全部通過磁場(chǎng)過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱Q為8J
（4）金屬棒cd在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)過程中通過回路橫截面積的電量q為0.8C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查電磁感應(yīng)與功能關(guān)系和動(dòng)力學(xué)相結(jié)合的分析問題；關(guān)鍵是明確兩個(gè)棒的運(yùn)動(dòng)過程，然后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)能定理、法拉第電磁感應(yīng)定律等列式求解．