Question

如圖甲所示，豎直面MN的左側(cè)空間存在豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)(上、下及左側(cè)無(wú)邊界)．一個(gè)質(zhì)量為m、電荷量為q的可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電的小球，以大小為v₀的速度垂直于豎直面MN向右做直線運(yùn)動(dòng)．小球在t＝0時(shí)刻通過(guò)電場(chǎng)中的P點(diǎn)，為使小球能在以后的運(yùn)動(dòng)中豎直向下通過(guò)D點(diǎn)(P、D間距為L(zhǎng)，且它們的連線垂直于豎直平面MN，D到豎直面MN的距離DQ等于L/π)，經(jīng)過(guò)研究，可以在電場(chǎng)所在的空間疊加如圖乙所示的隨時(shí)間周期性變化的、垂直于紙面向里的磁場(chǎng)．(g＝10m/s²)，求：

(1)場(chǎng)強(qiáng)E的大小；

(2)如果磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀為已知量，試推出滿(mǎn)足條件t₁的表達(dá)式；

(3)進(jìn)一步的研究表明，豎直向下的通過(guò)D點(diǎn)的小球?qū)⒆鲋芷谛赃\(yùn)動(dòng)．則當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的周期最大時(shí)，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀及運(yùn)動(dòng)的最大周期T的大小，并在圖中定性地畫(huà)出小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡．(只需要畫(huà)出一種可能的情況)

Answer 1

(1)mg/q　(2)＋　(3)　　軌跡見(jiàn)解析圖乙

解析:

(1)小球進(jìn)入電場(chǎng)，做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)

Eq＝mg，①

E＝mg/q.②

(2)在t₁時(shí)刻加磁場(chǎng)，小球在時(shí)間t₀內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖甲所示)，設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)₀，半徑為R₀.

豎直向下通過(guò)D點(diǎn)，則t₀＝3T₀/4，      ③

B₀qv₀＝m④

PF－PD＝R即v₀t₁－L＝R，            ⑤

將③④代入⑤式解得t₁＝＋.

(3)小球運(yùn)動(dòng)的速率始終不變，當(dāng)R變大時(shí)，T₀也增加，小球在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)周期T也增加

在小球不飛出電場(chǎng)的情況下，當(dāng)T₀最大時(shí)，有：

DQ＝2R，即＝，               ⑥

T₀＝＝，                     ⑦

結(jié)合⑥⑦式是B₀＝，

T₀＝.

結(jié)合軌跡圖可知，小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大周期T＝4×(＋t₀)．

結(jié)合上式解得T＝.

所以小球在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期的軌跡如圖乙所示．