Question

（2007?肇慶二模）某研究性學(xué)習(xí)小組，為了探索航天器球形返回艙穿過大氣層時(shí)所受空氣阻力（風(fēng)力）的影響因素，進(jìn)行了模擬實(shí)驗(yàn)研究．如圖為測(cè)定風(fēng)力的實(shí)驗(yàn)裝置圖，其中CD是一段水平放置的長(zhǎng)為L(zhǎng)的光滑均勻電阻絲，電阻絲電阻較大；一質(zhì)量和電阻都不計(jì)的細(xì)長(zhǎng)細(xì)長(zhǎng)裸金屬絲一端固定于O點(diǎn)，另一端懸掛球P，無(wú)風(fēng)時(shí)細(xì)金屬絲豎直，恰與電阻絲在C點(diǎn)接觸，OC=H；有風(fēng)時(shí)金屬絲將偏離豎直方向，與電阻絲相交于某一點(diǎn)（如圖中虛線所示）．細(xì)金屬絲與電阻絲始終保持良好的導(dǎo)電接觸．
（1）已知電源的電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻不計(jì)，理想電壓表兩接線柱分別與O點(diǎn)和C點(diǎn)相連，球P的質(zhì)量為m，重力加速度為g，由此可以推得風(fēng)力大小F與電壓表示數(shù)的關(guān)系式為F=

mgL

EH

U

．
（2）研究小組的同學(xué)猜想：風(fēng)力大小F可能與風(fēng)速大小v和球半徑r這兩個(gè)因素有關(guān)，于是他們進(jìn)行了如下的實(shí)驗(yàn)：
實(shí)驗(yàn)一：使用同一球，改變風(fēng)速，記錄了在不同風(fēng)速下電壓表的示數(shù)．
表一  球半徑r=0.50cm

風(fēng)速（m/s）	10	15	20	30
電壓表示數(shù)（V）	2.40	3.60	4.81	7.19

由表一數(shù)據(jù)可知：在球半徑一定的情況下，風(fēng)力大小與風(fēng)速的關(guān)系是

風(fēng)力大小與風(fēng)速成正比

．
實(shí)驗(yàn)二：保持風(fēng)速一定，換用同種材料、不同半徑的實(shí)心球，記錄了在球半徑不同情況下電壓表的示數(shù)．
表二  風(fēng)速v=10m/s

球半徑（cm）	0.25	0.50	0.75	1.00
電壓表示數(shù)（V）	9.60	2.40	1.07	0.60

由表二數(shù)據(jù)可知：在風(fēng)速一定的情況下，風(fēng)力大小與球半徑的關(guān)系是

成正比

．（球體積公式V=

4

3

πr3）
（3）根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知風(fēng)力的大小F與風(fēng)速大小v、球半徑r的關(guān)系式為

F=kvr，式中k為常數(shù)

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)小球受到風(fēng)力為F時(shí)細(xì)金屬絲與豎直方向的夾角為θ，θ既與風(fēng)力有關(guān)，又與電壓表示數(shù)U有關(guān)．先以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，根據(jù)平衡條件列式，得出F與θ的關(guān)系，再對(duì)電路進(jìn)行研究，根據(jù)串聯(lián)電路的分壓規(guī)律和電阻定律得出U與θ關(guān)系，即可得到風(fēng)力大小F與電壓表示數(shù)的關(guān)系式．
（2）分析表1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，電壓表示數(shù)U與風(fēng)速v成正比關(guān)系，設(shè)出U與v之間的關(guān)系得出風(fēng)力大小與風(fēng)速大小的關(guān)系式；
（3）分析表2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，電壓表示數(shù)U與球半徑r²成反比關(guān)系，設(shè)出U與r之間的關(guān)系得出風(fēng)力大小與球半徑大小的關(guān)系式；進(jìn)一步得出風(fēng)力大小F與風(fēng)速大小v、球的半徑r的關(guān)系式．

解答：解：（1）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，設(shè)小球受到風(fēng)力為F是細(xì)金屬絲與豎直方向的夾角為θ，由平衡條件可知其風(fēng)力
     F=mgtanθ   ①
設(shè)細(xì)金屬絲與電阻絲相交點(diǎn)與C點(diǎn)之間的長(zhǎng)度Htanθ，電阻為R′=

R

L

Htanθ，
由串聯(lián)電路的分壓規(guī)律可知電壓表示數(shù)  U=

ER′

R

=

E

L

Htanθ  ②
①②兩式聯(lián)立解得    F=

mgL

EH

U  ③
（2）由表一中的測(cè)量數(shù)據(jù)可以看出，在球半徑一定的情況下，風(fēng)力大小與風(fēng)速成正比，即F與v成正比．
由表二中的測(cè)量數(shù)據(jù)可知：在風(fēng)速一定的情況下，球半徑增大到原來的二倍，電壓表示數(shù)減小為原來的

1

4

．
由③式和球體積公式、密度公式可得 F=

mgL

EH

U=

VρgL

EH

U=

ρgL

EH

?

4

3

πr3U
綜合考慮可得在風(fēng)速一定的情況下，風(fēng)力大小與球半徑的關(guān)系是：F與r成正比．
（3）根據(jù)上述兩次實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，風(fēng)力大小與風(fēng)速成正比，與球半徑成正比，風(fēng)力的大小F與風(fēng)速大小v、球半徑r的關(guān)系式可以寫為F=kvr，式中k為常數(shù)．  
故答案為：
（1）F=

mgL

EH

U
（2）風(fēng)力大小與風(fēng)速成正比
（3）F=kvr，式中k為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了學(xué)生分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的能力、對(duì)控制變量法的理解和應(yīng)用，相對(duì)來說對(duì)學(xué)生的要求較高，難度較大．