Question

19．如圖甲所示，足夠長的光滑導軌傾角為30°，間距L=1m，電阻不計，恒定的非勻強磁場方向垂直于斜面向下，電阻R=1Ω，導體棒ab質(zhì)量m=0.25kg，其電阻r=1Ω，垂直于導軌放置．現(xiàn)導體棒ab從磁場上邊界由靜止下滑，測得導體棒所到達位置的磁感應強度B與導體棒在該位置速度之間的關(guān)系如圖乙所示．（g取l0m/s²）
（1）求導體棒下滑2s時的速度和位移；
（2）求導體棒下滑2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 由于導體在恒定的非勻強磁場中切割磁感線，所以產(chǎn)生的電動勢是變化的．由圖乙可以看出：B²與$\frac{1}{v}$成正比，也就是B²×$\frac{1}{v}$  是一個定值．而切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢的E=BLv，這是一個瞬時值公式，由于感應電流受到的安培力，F(xiàn)=BIL，根據(jù)歐姆定律$I=\frac{E}{R+r}$，聯(lián)立幾式得：安培力$F=B•I•L=B•\frac{BLv}{R+r}•L=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，在這個式子中恰好有一個B²v 的因子是恒定的，而其他量L、R、r均為已知，則安培力為一個恒定的值．那么據(jù)牛頓第二定律導體棒做勻加速直線運動，這是此題的關(guān)鍵點．
（1）據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再由運動學公式求出速度和位移．
（2）由能量守恒：減小的機械能等于增加的焦耳熱．

解答 解：（1）由圖象乙可知：棒下滑的任意狀態(tài)有
     B²v=0.5T²•m•s^{-1 ①}
對棒下滑過程中某一狀態(tài)由牛頓第二定律得：
      $mgsin30°-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=ma$    ②
以上兩式代入數(shù)據(jù)可得物體物體的加速度     
             a=4m/s²
可見導體棒在斜面上做勻加速直線運動．t=2s時，棒的速度：
            v=at=8m/s  
棒的位移：$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=8m$       ③
（2）由能量守恒定律得：
       $mg•s•sin30°=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$    ④
代入數(shù)據(jù)得：Q=2J
答：（1）導體棒下滑2s時的速度為8m/s，位移為8m．
（2）導體棒下滑2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為2J．

點評 本題的關(guān)鍵點在于從給出的圖象中找到導體棒的運動規(guī)律，題設的${B}^{2}--\frac{1}{v}$圖象，即磁感應強度隨速度增大而減小，這只是定性關(guān)系，只有從切割磁感線產(chǎn)生電動勢的公式、歐姆定律、安培力公式三者聯(lián)立才能找到定量關(guān)系-即安培力不變，從而判斷出導體棒做勻加速直線運動．