Question

【題目】功是物理學(xué)中非常重要的概念，通過做功的過程可以實現(xiàn)能量轉(zhuǎn)化。

(1)一直流電動機，線圈電阻R=2.0Ω，當(dāng)它兩端所加的電壓U=24V時，電動機正常運轉(zhuǎn)，測得通過其電流I=0.50A。求此工作狀態(tài)下，這臺電動機將電能轉(zhuǎn)化為機械能的效率是多少？（保留三位有效數(shù)字）

(2)在電路中電能轉(zhuǎn)化為其他形式能的過程就是電流做功的過程，電流做功的過程本質(zhì)上是導(dǎo)體中恒定電場的電場力對定向移動的自由電荷做功的過程。由同種材料制成的很長的圓柱形實心金屬導(dǎo)體，在其上選取長為L的導(dǎo)體做為研究對象，如圖1所示，當(dāng)其兩端的電勢差恒為U時，形成的恒定電流的大小為I，即相同時間內(nèi)通過導(dǎo)體A端橫截面的電荷量與通過B端的電荷量相等，也就等于通過這段導(dǎo)體的電荷量。設(shè)導(dǎo)體中的恒定電場為勻強電場，自由電子的電荷量為e，它們定向移動的速率恒定且均相同。

①求每個自由電子在導(dǎo)體中做定向移動的平均阻力f；

②結(jié)合電流的定義式I=，從恒定電場的電場力對自由電子做功的角度，證明電流通過這段金屬導(dǎo)體做功的功率為P=UI；

③結(jié)合電流的定義式I=，從恒定電場的電場力對自由電子做功的角度，證明電流通過這段金屬導(dǎo)體在時間t內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱為Q=UIt；

(3)如圖2所示為簡化的直流電動機模型，固定于水平面的兩根平行金屬導(dǎo)軌，處于豎直向下的勻強磁場中，在兩導(dǎo)軌的左端通過開關(guān)連接一電源。一根導(dǎo)體棒MN放置在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的阻力恒定且不為0。閉合開關(guān)S后，導(dǎo)體棒由靜止開始運動，運動過程中切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢，該電動勢總要削弱電源電動勢的作用，我們把這個電動勢稱為反電動勢E反。若導(dǎo)體棒運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，此“電動機模型”穩(wěn)定運行時通過導(dǎo)體棒的電流為I。請證明此“電動機模型”穩(wěn)定運行時的機械功率為P機=IE反；

(4)如圖3所示為簡化的直流電動機模型，固定于水平面的兩根平行金屬導(dǎo)軌，處于豎直向下的勻強磁場中，在兩導(dǎo)軌的左端通過開關(guān)連接一電源。一根導(dǎo)體棒MN放置在導(dǎo)軌上，導(dǎo)體棒用通過定滑輪的輕細(xì)線與重物相連。閉合開關(guān)S后，導(dǎo)體棒由靜止開始運動，運動過程中切割磁感線產(chǎn)生動生電動勢，該電動勢總要削弱電源電動勢的作用，我們把這個電動勢稱為反電動勢E反。若導(dǎo)體棒運動過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，且一切摩擦均可忽略不計，此“電動機模型”穩(wěn)定運行時通過導(dǎo)體棒的電流為I。請證明此“電動機模型”穩(wěn)定運行時對重力做功的功率為P=IE反。

Answer 1

【答案】(1)95.8%；(2)①；②證明見解析；③證明見解析；(3)證明見解析；(4)證明見解析

【解析】

(1)電動機的輸入功率

產(chǎn)生熱的功率

因此輸出機械能的功率

電能轉(zhuǎn)化為機械能的效率為

(2)①因自由電子做勻速運動，因此有

②導(dǎo)體內(nèi)恒定電場的電場力對通過這段導(dǎo)體的一個自由電子所做的功

設(shè)t時間內(nèi)共有n個自由電子通過這段導(dǎo)體，則恒定電場的電場力對自由電子所做的總功

因?qū)�體中的電流

I==

所以可得

W=UIt

因此電流通過這段金屬導(dǎo)體做功的功率為

③恒定電流中自由電子定向移動的速度保持不變，即自由電子的定向移動的動能不變，根據(jù)功能關(guān)系可知，電場力所做的功等于阻力做的功，覓阻力做的功等于電流通過導(dǎo)體產(chǎn)生的焦耳熱，因此

Q=W電=UIt

(3)“電動機模型”穩(wěn)定運行時的機械功率就是安培力做功的功率。設(shè)穩(wěn)定運行時導(dǎo)體棒的速度為v，則

P機=F安v=BILv

又因

E反=BLv

所以

P機=E反I

(4) “電動機模型”穩(wěn)定運行時，導(dǎo)體棒受力分析可知

因此克服重力做功的機械功率就是安培力做功的功率。設(shè)穩(wěn)定運行時導(dǎo)體棒的速度為v，則

P機=F安v=BILv

又因

E反=BLv

所以

P機=IE反

即