Question

3．在空間足夠大的方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中兩長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線并列上端固定，另一端懸掛質(zhì)量分別為m_A和m_B的帶正電小球，帶電量分別為q_A和q_B，且有$\frac{{q}_{A}}{{m}_{A}}$=$\frac{{q}_{B}}{{m}_{B}}$=k．平衡時(shí)，兩小球剛好相接觸并無(wú)彈力，距地面高度為H，現(xiàn)將A球拉離至與懸點(diǎn)等高處，使細(xì)線繃直，由靜止釋放，當(dāng)A擺至最低點(diǎn)時(shí)與B球發(fā)生彈性碰撞，剛碰撞完的瞬間，系B球的細(xì)線突然被拉斷．（不計(jì)兩球間的庫(kù)侖力，已知電場(chǎng)強(qiáng)度為E．）求：
（1）A與B碰撞前瞬間的速度大�。�
（2）B球落地點(diǎn)到懸點(diǎn)的水平距離和A球碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）A向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中重力和電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理即可求出A到達(dá)最低點(diǎn)的速度；
（2）兩個(gè)小球在最低點(diǎn)受到重力和繩子的拉力、電場(chǎng)力，水平方向的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒即可求出碰撞后的速度，再分別由平拋運(yùn)動(dòng)與機(jī)械能守恒即可求出．

解答 解：（1）A向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中重力和電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理得：
${m}_{A}gL+{q}_{A}E•L=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
所以：v=$\sqrt{2gL+2kEL}$
（2）兩個(gè)小球在最低點(diǎn)受到重力和繩子的拉力、電場(chǎng)力，水平方向A與B組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，選取向右為正方向，則：
m_Av=m_Av_A+m_Bv_B
彈性碰撞的過(guò)程中機(jī)械能守恒，所以：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
聯(lián)立得：${v}_{A}=\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2gL+2kEL}$；${v}_{B}=\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2gL+2kEL}$．
碰撞后A做單擺運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)：
${m}_{A}gh+{q}_{A}E•h=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$
所以：h=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2（g+kE）}$=（$\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$）²•L
由題意B做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向的加速度：
a=$\frac{{m}_{B}g+{q}_{B}E}{{m}_{B}}=\frac{{m}_{B}g+k{m}_{B}E}{{m}_{B}}=g+kE$
豎直方向：H=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，水平方向：X=v_Bt
聯(lián)立得：X=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2HL}$
答：（1）A與B碰撞前瞬間的速度大小是$\sqrt{2gL+2kEL}$．
（2）B球落地點(diǎn)到懸點(diǎn)的水平距離是$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2HL}$，A球碰撞后上升的最大高度是（$\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$）²•L．

點(diǎn)評(píng) 該題數(shù)據(jù)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、動(dòng)量守恒動(dòng)量以及類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)等，涉及的過(guò)程多，物理量多，在解答的過(guò)程中要細(xì)心．