Question

5．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一半徑為r、內(nèi)阻為R₁、粗細(xì)均勻的光滑半圓形金屬球，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強(qiáng)磁場I和II，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電阻不計的導(dǎo)體棒ab，從半圓環(huán)的最高點(diǎn)A處由靜止下落，在下落過程中導(dǎo)體棒始終保持水平，與半圓形金屬環(huán)及軌道接觸良好，高平行軌道中夠長．已知導(dǎo)體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導(dǎo)體棒ab從A下落r/2時的加速度大�。�
（2）若導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂．
（3）若將磁場II的CD邊界略微下移，導(dǎo)體棒ab剛進(jìn)入磁場II時速度大小為v₃，要使其在外力F作用下做勻加速直線運(yùn)動，加速度大小為a，求所加外力F隨時間變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒受到重力和安培力的作用，注意此時導(dǎo)體棒的有效切割長度和外電路的串并聯(lián)情況．
（2）導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場II后棒中電流大小始終不變，說明導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動，導(dǎo)體棒在下落h的過程中做勻變速直線運(yùn)動，根據(jù)運(yùn)動規(guī)律可求出下落距離h，根據(jù)并聯(lián)電路可知R₂上消耗的功率占整個電路的$\frac{3}{4}$，總電功率等于導(dǎo)體棒重力功率．
（3）正確進(jìn)行受力分析，注意安培力的表達(dá)式，然后根據(jù)牛頓第二定律求解即可．

解答 解：（1）以導(dǎo)體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產(chǎn)生產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，導(dǎo)體棒ab從A下落$\frac{r}{2}$時，導(dǎo)體棒在重力與安培力作用下做加速運(yùn)動，由牛頓第二定律，得：
    mg-BIL=ma，式中 l=$\sqrt{3}$r，I=$\frac{Bl{v}_{1}}{{R}_{總}}$
當(dāng)導(dǎo)體棒ab下落 $\frac{r}{2}$時，由幾何關(guān)系可知，棒ab以上的圓弧的長度是半圓的總長度的$\frac{2}{3}$，所以ab以上的部分，電阻值是8R，ab以下的部分的電阻值是4R+4R，
式中：R_總=$\frac{8R×（4R+4R）}{8R+4R+4R}$=4R
由以上各式可得到：a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$
故導(dǎo)體棒ab從A下落$\frac{r}{2}$時的加速度大小為：a=g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$．
（2）當(dāng)導(dǎo)體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即：
  mg=BI×2r=B×$\frac{B•2r•{v}_{t}}{{R}_{并}}$×2r=$\frac{{4B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}}{{R}_{并}}$
式中：R_并=$\frac{12R×4R}{12R+4R}$=3R
解得：v_t=$\frac{mg{R}_{并}}{4{B}^{2}{r}^{2}}$=$\frac{3mgR}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
導(dǎo)體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運(yùn)動，有v_t²-v₂²=2gh，
得：h=$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$
此時導(dǎo)體棒重力的功率為：P_G=mgv_t=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
根據(jù)能量守恒定律，此時導(dǎo)體棒重力的功率全部轉(zhuǎn)化為電路中的電功率，即
  P_電=P₁+P₂=P_G=$\frac{3{m}^{2}{g}^{2}R}{4{B}^{2}{r}^{2}}$
所以，P₂=$\frac{3}{4}$P_G=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$
故磁場I和II之間的距離 h=$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，R₂上的電功率P₂=$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$．
（3）設(shè)導(dǎo)體棒ab進(jìn)入磁場II后經(jīng)過時間t的速度大小為v'_t，此時安培力大小為：
  F′=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}{v}_{t}′}{3R}$
由于導(dǎo)體棒ab做勻加速直線運(yùn)動，有v'_t=v₃+at
根據(jù)牛頓第二定律，有
F+mg-F′=ma
即：F+mg-$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}（{v}_{3}+at）}{3R}$=ma
由以上各式解得：F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$（at+v₃）-m（g-a）=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg
故所加外力F隨時間變化的關(guān)系式為：F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg．
答：
（1）導(dǎo)體棒ab從A下落$\frac{r}{2}$時的加速度大小為g-$\frac{3{B}^{2}{r}^{2}{v}_{1}}{4mR}$．
（2）磁場I和II之間的距離h是$\frac{9{m}^{2}g{r}^{2}}{32{B}^{4}{r}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，R₂上的電功率是$\frac{9{m}^{2}{g}^{2}R}{16{B}^{2}{r}^{2}}$．
（3）所加外力F隨時間變化的關(guān)系式：F=$\frac{4{B}^{2}{r}^{2}}{3R}$at+ma-mg．

點(diǎn)評 本題是復(fù)雜的電磁感應(yīng)問題，對于這類問題一定要做好電流、安培力、運(yùn)動情況、功能關(guān)系這四個方面的問題分析．